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已知函数 $f(x) = e^x - ax - 1$（$e$ 为自然对数的底数）．

(1) 当 $a = 1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 利用 (1) 的结论，证明：对任意正整数 $n$，有 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ 恒成立．

设函数 $f(x)=e^x-ex$（$e$ 为自然对数的底数）。

(1) 证明：对一切实数 $x$，有 $e^x\geq ex$；

(2) 利用 (1) 的结论，证明：对任意正整数 $n$，有 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$，$A$、$B$ 是椭圆上两点，线段 $AB$ 的中点为 $M$，且 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB}=0$（$O$ 为原点）。

(1) 求中点 $M$ 的坐标（用斜率 $k$ 表示）；

(2) 求 $\triangle OAB$ 面积的最大值。