1993年新高考理

1. 函数 $f(x) = \sin x + \cos x$ 的最小正周期是（　　）

2. 如果双曲线的焦距为 $6$, 两条准线间的距离为 $4$, 那么该双曲线的离心率为（　　）

3. 和直线 $3x-4y+5=0$ 关于 $x$ 轴对称的直线的方程为（　　）

4. 极坐标方程 $\displaystyle \rho = \frac{4}{3-5\cos\theta}$ 所表示的曲线是（　　）

5. $y = x^{2}$ 在 $[-1,1]$ 上是（　　）

6. $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{5n^{2}-1}{2n^{2}+5n}$ 的值为（　　）

7. 集合 $\displaystyle M = \{x | x = k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in Z \}$, $\displaystyle N = \{x | x = k\pi + \frac{\pi}{4}, k \in Z \}$, 则（　　）

8. $\sin 20^{\circ}\cos 70^{\circ}+ \sin 10^{\circ}\sin 50^{\circ}$ 的值是（　　）

9. 参数方程 $\begin{cases}x = \cos \theta + \sin \theta, \\ y = (1+\sin \theta),\end{cases}$ ($0 < \theta < 2\pi$) 表示（　　）

10. 若 $a、b$ 是任意实数, 且 $a > b$, 则（　　）

11. 一动圆与两圆 $x^{2}+y^{2} = 1$ 和 $x^{2}+y^{2}-8x+12=0$ 都外切, 则动圆圆心轨迹为（　　）

12. 圆柱轴截面的周长为定值, 那么圆柱体积的最大值是（　　）

13. $(\sqrt{x}+1)(x-1)^{5}$ 展开式中 $x$ 的系数为（　　）

14. 直角梯形的一个内角为 $45^{\circ}$, 下底长为上底长的$\displaystyle \frac{3}{2}$ , 这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为 $(5+\sqrt{2})\pi$, 则旋转体的体积为（　　）

15. 已知 $a_{1}, a_{2},..., a_{5}$ 为各项都大于零的等比数列, 公比 $q \neq 1$, 则（　　）

16. 设有如下三个命题: 甲: 相交两直线 $l, m$ 都在平面 $\alpha$ 内, 并且都不在平面 $\beta$ 内. 乙: $l, m$ 之中至少有一条与 $\beta$ 相交. 丙: $\alpha$ 与 $\beta$ 相交. 当甲成立时（　　）

17. 将数字 $1,2,3,4$ 填入标号为 $1,2,3,4$ 的四个方格里, 每格填一个数字, 则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（　　）

18. $\displaystyle \sin(\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+ \arccos \frac{1}{\sqrt{3}})$

19. 若双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{9k^{2}}- \frac{y^{2}}{4k^{2}}= 1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 没有公共点, 则实数 $k$ 的取值范围为

20. 从 $1,2,\dots,10$ 这十个数中取出四个数, 使它们的和为奇数, 共有 $\_$ 种取法. (用数字作答)

21. 设 $f(x) = 4^{x}- 2^{x+1}$, 则 $f^{-1}(0) = \_.$

22. 建造一个容积为 $8\text{ m}^{3}$, 深为 $2\text{ m}$ 的长方体无盖水池, 如果池底和池壁的造价每平方米分别为 $120$ 元和 $80$ 元, 那么水池的最低总造价为 $\_$ 元.

23. 如图, $ABCD$ 是正方形, $E$ 是 $AB$ 的中点, 如将 $\triangle DAE$ 和 $\triangle CBE$ 分别沿虚线 $DE$ 和 $CE$ 折起, 使 $AE$ 与 $BE$ 重合, 记 $A$ 与 $B$ 重合的点为 $P$, 则面 $PCD$ 与面 $ECD$ 所成的二面角为 $\_$ 度.

📐 待生成图：正方形ABCD,E为AB中点,将三角形DAE和CBE沿DE和CE折起

24. 已知 $\displaystyle f(x) = \log_{a} \frac{1+x}{1-x}$ ($a > 0, a \neq 1$).

(1) 求 $f(x)$ 的定义域;

(2) 判断 $f(x)$ 的奇偶性并予以证明;

(3) 求使 $f(x)>0$ 的 $x$ 取值范围.

25. 已知数列 $\frac{8n}{1^{2}\cdot 3^{2}}, \frac{8n}{(2\cdot 3)^{2}}, \frac{8n}{(3\cdot 5)^{2}}, \dots, \frac{8n}{(2n-1)^{2}(2n+1)^{2}}, \dots$ $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和. 计算得 $\displaystyle S_{1} = \frac{8}{9}$, $\displaystyle S_{2} = \frac{24}{25}$, $\displaystyle S_{3} = \frac{48}{49}$, $\displaystyle S_{4} = \frac{80}{81}$. 观察上述结果,推测出计算 $S_{n}$ 的公式,并用数学归纳法加以证明.

26. 已知: 平面 $\alpha \cap$ 平面 $\beta =$ 直线 $a$. $\alpha, \beta$ 同垂直于平面 $\gamma$, 又同平行于直线 $b$. 求证: (1) $a \perp \gamma$; (2) $b \perp \gamma$.

27. 在面积为 $1$ 的 $\triangle PMN$ 中, $\displaystyle \tan \angle PMN = \frac{1}{2}$, $\tan \angle MNP = -2$. 建立适当的坐标系, 求以 $M,N$ 为焦点且过点 $P$ 的椭圆方程.

28. 设复数 $z = \cos\theta + i\sin\theta$ ($0 < \theta < \pi$), $\displaystyle \omega = \frac{1-(z)^{2}}{1+(z)^{4}}$, 并且 $\displaystyle \omega = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\displaystyle \arg\omega < \frac{\pi}{2}$, 求 $\theta$.