1993年旧高考理

1. 如果双曲线的实半轴长为 $2$, 焦距为 $6$, 那么该双曲线的离心率为（　　）

2. 函数 $\displaystyle y = \frac{1 - \tan^{2} 2x}{1 + \tan^{2} 2x}$ 的最小正周期是（　　）

3. 当圆锥的侧面积和底面积的比值是 $\sqrt{2}$ 时, 圆锥的轴截面顶角是（　　）

4. 当 $\displaystyle z = \frac{1-i}{2}$ 时, $z^{100}+ z^{50}+ 1$ 的值等于（　　）

5. 直线 $bx + ay = ab$ ($a < 0, b < 0$) 的倾斜角是（　　）

6. 在直角三角形中两锐角为 $A$ 和 $B$, 则 $\sin A \sin B$（　　）

7. 在各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中, 若 $a_{5} a_{6} = 9$, 则 $\log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \cdots + \log_{3} a_{10}$ 的值为（　　）

8. $\displaystyle F(x) = \frac{1}{1+2^{x}}+ f(x)$ ($x \neq 0$) 是偶函数, 且 $f(x)$ 不恒等于零, 则 $\displaystyle \frac{f(x)}{f(-x)}$（　　）

9. 曲线的参数方程为 $\begin{cases}x = 3t^{2} + 2, \\ y = t^{2} - 1,\end{cases}$ ($0 \le t \le 5$), 则曲线是（　　）

10. 若 $a、b$ 是任意实数, 且 $a > b$, 则（　　）

11. 已知集合 $E = \{\theta | \cos \theta < \sin \theta, 0 \le \theta < 2\pi\}$, $F = \{\theta | \tan \theta < \sin \theta\}$, 那么 $E \cap F$ 为区间（　　）

12. 一动圆与两圆: $x^{2}+y^{2} = 1$ 和 $x^{2}+y^{2}-8x+12=0$ 都外切, 则动圆圆心的轨迹为（　　）

13. 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等, 则该棱锥一定不是（　　）

14. 如果圆柱轴截面的周长为定值, 那么圆柱体积的最大值是（　　）

15. 由 $(\sqrt{3}x+\sqrt{2})^{100}$ 展开所得的 $x$ 的多项式中, 系数为有理数的共有（　　）

16. 设 $a, b, c$ 都是正数, 且 $3a = 4b = 6c$, 那么（　　）

17. 同室四人各写一张贺年卡, 先集中起来, 然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡, 则四张贺年卡不同的分配方式有（　　）

18. 已知异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角为 $50^{\circ}$, $P$ 为空间上一定点, 则过点 $P$ 且与 $a, b$ 所成的角都是 $30^{\circ}$ 的直线有且仅有（　　）

19. 抛物线 $y^{2} = 4x$ 的弦 $AB$ 垂直于 $x$ 轴, 若 $AB$ 的长为 $4\sqrt{3}$, 则焦点到 $AB$ 的距离为

20. 在半径为 $30\text{ m}$ 的圆形广场中央上空, 设置一个照明光源, 射向地面的光呈圆锥形, 且其轴截面顶角为 $120^{\circ}$. 若要光源恰好照亮整个广场, 则其高度应为 $\_$ m (精确到 $0.1\text{ m}$).

21. 在 $50$ 件产品中有 $4$ 件是次品, 从中任意抽出 $5$ 件, 至少有 $3$ 件是次品的抽法共 $\_$ 种 (用数字作答).

22. 建造一个容积为 $8\text{ m}^{3}$, 深为 $2\text{ m}$ 的长方体无盖水池. 如果池底和池壁的造价每平方米分别为 $120$ 元和 $80$ 元, 那么水池的最低总造价为 $\_$ 元.

23. 设 $f(x) = 4^{x}- 2^{x+1}$, 则 $f^{-1}(0) = \_.$

24. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d > 0$, 首项 $a_{1} > 0$, $\displaystyle S_{n} = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i} a_{i+1}}$, 则 $\lim\limits_{n\to\infty}S_{n} = \_.$

25. 解不等式: $\displaystyle 2 + \log_{2}(5-x) + \log_{2} \frac{1}{x}> 0$.

26. 如图, $A_{1}B_{1}C_{1}-ABC$ 是直三棱柱, 过点 $A_{1}、B、C_{1}$ 的平面和平面 $ABC$ 的交线记作 $l$.

(1) 判定直线 $A_{1}C_{1}$ 和 $l$ 的位置关系, 并加以证明;

(2) 若 $A_{1}A = 1, AB = 4, BC = 3, \angle ABC = 90^{\circ}$, 求顶点 $A_{1}$ 到直线 $l$ 的距离.

📐 待生成图：直三棱柱A1B1C1-ABC, 过点A1,B,C1的平面和平面ABC的交线记作l

27. 在面积为 $1$ 的 $\triangle PMN$ 中, $\displaystyle \tan M = \frac{1}{2}$, $\tan N = -2$, 建立适当的坐标系, 求出以 $M,N$ 为焦点且过点 $P$ 的椭圆方程.

28. 设复数 $z = \cos\theta + i\sin\theta$ ($0 < \theta < \pi$), $\displaystyle \omega = \frac{1-(z)^{2}}{1+(z)^{4}}$, 已知 $\displaystyle |\omega| = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\displaystyle \arg\omega < \frac{\pi}{2}$, 求 $\theta$.