1992年全国卷文

1. $\displaystyle \frac{\log_{8} 9}{\log_{2} 3}$ 的值是（　　）

2. 已知椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{25}+ \frac{y^{2}}{16}=1$ 上一点 $P$ 到椭圆一个焦点的距离为 $3$, 则 $P$ 到另一个焦点的距离为（　　）

3. 如果函数 $y = \sin(\omega x) \cos(\omega x)$ 的最小正周期是 $4\pi$, 那么常数 $\omega$ 为（　　）

4. 在 $\displaystyle (x - \frac{1}{x})^{8}$ 的展开式中常数项是（　　）

5. 已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等, 则圆柱的全面积与球的表面积的比是（　　）

6. 如图, 图中曲线是幂函数 $y=x^{n}$ 在第一象限的图象. 已知 $n$ 取 $\displaystyle \pm\frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$ 四个值, 则相应于曲线 $C_{1}、C_{2}、C_{3}、C_{4}$ 的 $n$ 依次为 ()

📐 待生成图：幂函数y=x^n在第一象限的图像

（　　）

7. 若 $\log_{a} 2 < \log_{b} 2 < 0$, 则（　　）

8. 原点关于直线 $8x+6y=25$ 的对称点坐标为（　　）

9. 在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多可有（　　）

10. 圆心在抛物线 $y^{2} = 2x$ 上, 且与 $x$ 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（　　）

11. 在 $[0,2\pi]$ 上满足 $\displaystyle \sin x \ge \frac{1}{2}$ 的 $x$ 的取值范围是（　　）

12. 已知直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 夹角的平分线为 $y = x$, 如果 $l_{1}$ 的方程是 $ax + by + c = 0$ ($ab > 0$), 那么 $l_{2}$ 的方程是（　　）

13. 如果 $\displaystyle \alpha, \beta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ 且 $\tan \alpha < \cot \beta$, 那么必有（　　）

14. 如图,在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $M$ 和 $N$ 分别为 $A_{1}B_{1}$ 和 $BB_{1}$ 的中点, 那么直线 $AM$ 与 $CN$ 所成角的余弦值是 ( )

📐 待生成图：正方体ABCD-A1B1C1D1, M为A1B1中点,N为BB1中点

（　　）

15. 已知复数 $z$ 的模为 $2$, 则 $|z - i|$ 的最大值为（　　）

16. 函数 $\displaystyle y = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ 的反函数（　　）

17. 如果函数 $f(x) = x^{2}+bx+c$ 对任意实数 $t$ 都有 $f(2+t) = f(2-t)$, 那么（　　）

18. 长方体的全面积为 $11$, $12$ 条棱长度之和为 $24$, 则这个长方体的一条对角线长为（　　）

19. $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}[\frac{1}{1\cdot 3}+ \frac{1}{3\cdot 5}+ \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}]$ 的值为

20. 已知 $\theta$ 在第三象限且 $\tan \alpha = 2$, 则 $\cos \alpha$ 的值是

21. 方程 $\displaystyle \frac{1}{1+3^{-x}}- \frac{1}{1+3^{x}}= 3$ 的解是

22. 设含有 $10$ 个元素的集合的全部子集数为 $S$, 其中由 $3$ 个元素组成的子集数为 $T$, 则 $\displaystyle \frac{T}{S}$ 的值是

23. 焦点为 $F_{1}(-2,0)$ 和 $F_{2}(6,0)$, 离心率为 $2$ 的双曲线的方程是

24. 求 $\sin^{2} 20^{\circ}+ \cos^{2} 80^{\circ}+ \sqrt{3}\sin 20^{\circ}\cos 80^{\circ}$ 的值.

25. 已知 $z \in C$, 解方程: $z\bar{z}- 2|z| = -7 + 4i$.

26. 如图,已知 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 是棱长为 $a$ 的正方体, $E,F$ 分别为棱 $AA_{1}$ 与 $CC_{1}$ 的中点,求四棱锥的 $A_{1}-EBFD_{1}$ 的体积.

📐 待生成图：正方体ABCD-A1B1C1D1, E为AA1中点,F为CC1中点

27. 在 $\triangle ABC$ 中, $BC$ 边上的高所在直线的方程为 $2x-2y+1=0$, $\angle A$ 的平分线所在直线的方程为 $y=0$, 若点 $B$ 的坐标为 $(1,2)$, 求点 $A$ 和点 $C$ 的坐标.

28. 设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 已知 $a_{3} = 12$, $S_{12}> 0$, $S_{13}< 0$.

(1) 求公差 $d$ 的取值范围;

(2) 指出 $S_{1}, S_{2},\dots, S_{12}$ 中哪一个值最大, 并说明理由.