2024年浙江新阵地教育联盟第三次联考

1. 已知复数 $z$ 满足 $(1+2i)z=4+3i$, 则 $z$ 的虚部是（　　）

2. 设集合 $\displaystyle A = \{y|y=\log_{2}x,x>\frac{1}{2}\}$, $B = \{y|y=x^{2},x>0\}$, 则（　　）

3. 已知 $f(x) = (3x+1)(x-a)(3x-1) + \log_{3}(\sqrt{x^{2}+1}-x)$ 是奇函数, 则常数 $a=$（　　）

4. 在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $E,F$ 分别为 $AB,BC$ 的中点, 则（　　）

5. 袋子中装有 $3$ 个红球和 $4$ 个蓝球, 甲先从袋子中随机摸一个球, 摸出的球不再放回, 然后乙从袋子中随机摸一个球, 若甲、乙两人摸到红球的概率分别为 $p_{1}, p_{2}$, 则（　　）

6. 在平行四边形 $ABCD$ 中, 点 $E$ 是 $AB$ 的中点, 点 $F,G$ 分别满足 $\displaystyle \overrightarrow{AF}= \frac{3}{2}\overrightarrow{AD}$, $\displaystyle \overrightarrow{BG}= \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$, 设 $\overrightarrow{AB}= \mathbf{a}$, $\overrightarrow{AD}= \mathbf{b}$, 若 $EF \perp EG$, 则（　　）

7. 已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 则“$2a_{1}+ a_{2}=a_{3}$”是“$\{\sqrt{S_{n}}\}$ 为等差数列”的（　　）

8. 双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{b^{2}}= 1(a,b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$, $P$ 是双曲线右支上一点, 点 $F_{1}$ 关于 $\angle F_{2}PF_{1}$ 平分线的对称点也在此双曲线上, 且 $\displaystyle \cos\angle F_{1}PF_{2}=\frac{1}{9}$, 则双曲线的离心率为（　　）

9. 如图,八面体的每个面都是正三角形,并且 $4$ 个顶点 $A,B,C,D$ 在同一个平面内,如果四边形 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形, 则（　　）

10. 函数 $f(x) = 2\cos(\omega x+\varphi)$ ($\displaystyle \omega>0, |\varphi|<\frac{\pi}{2}$) 相邻两个最高点之间的距离为 $\pi$, $\displaystyle (\frac{5\pi}{12},0)$ 为 $f(x)$ 的对称中心, 将函数 $f(x)$ 的图象向左平移 $\displaystyle \frac{\pi}{12}$ 后得到函数 $y=g(x)$ 的图象, 则（　　）

11. 在平面直角坐标系中, 如果将函数 $y=f(x)$ 的图象绕坐标原点逆时针旋转 $\displaystyle \alpha(0<\alpha\leq\frac{\pi}{2},\alpha$ 为弧度)后, 所得曲线仍然是某个函数的图象, 则称 $f(x)$ 为“$\alpha$ 旋转函数”, 则（　　）

12. 有甲乙两生从“物理、化学、生物、政治、历史、地理和技术”七门科目中选三门作为高考选考科目, 学生甲物理和化学两门必选, 并在另外的五门中任选一门; 学生乙必选政治学科, 但一定不选物理、化学, 则甲乙两人有且只有一门选科相同的选科方法总数有 $\underline{\qquad}$ 种.(用数字作答)

13. $P$ 是圆 $C:x^{2}+ (y - 2)^{2}=1$ 上一动点, $A(2,0)$, $Q$ 为 $AP$ 的中点, $O$ 为坐标原点, 则 $|OQ|$ 的最大值为 $\underline{\qquad}$.

14. 已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x) = f(1-x)$, $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数, $\displaystyle g(x) = f'(x) + \frac{1}{3}$, $x \in \mathbb{R}$. 若 $\displaystyle a_{n}= g(\frac{2024}{n})$, 则数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $2023$ 项和为 $\underline{\qquad}$.

15. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况, 随机抽取了 $120$ 名男生和 $120$ 名女生, 通过调查得到以下数据: $120$ 名女生中有 $20$ 人课间经常进行体育活动, $120$ 名男生中有 $40$ 人课间经常进行体育活动.

(1) 完成如下列联表(单位:人), 并判断能否有 $99.5\%$ 的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联.

(2) 以样本的频率作为概率的值, 在全校的学生中任取 $3$ 人, 记其中课间经常进行体育活动的人数为 $X$, 求 $X$ 的分布列与数学期望.

附:$\displaystyle \chi^{2}=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$, 其中 $n=a+b+c+d$.

16. 记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$, 且满足 $2\sin C=3\sin(A-B)$.

(1) 证明: $\tan A=5\tan B$;

(2) 若 $\triangle ABC$ 的面积为 $\displaystyle \frac{5}{12}c^{2}$, 求 $\tan C$;

17. 在三棱锥 $D - ABC$ 中, $AC = 3, DC= 2\sqrt{2}$, $\angle DCA = 45^{\circ}, CB \perp AB,BC=BD= \sqrt{6}$.

(1) 证明: 平面 $ADC \perp$ 平面 $ABC$;

(2) 点 $E$ 为棱 $DC$ 上, 若 $BC$ 与平面 $EAB$ 所成角的正弦值为 $\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{11}$, 求 $DE$ 的长;

18. 已知椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}= 1(a>b>0)$ 的长轴长为 $4$, 离心率为 $\displaystyle \frac{1}{2}$, 左顶点为 $C$, 过右焦点 $F$ 作直线与椭圆分别交于 $A,B$ 两点(异于左右顶点), 连接 $AC,CB$.

(1) 证明: $AC$ 与 $AF$ 不可能垂直;

(2) 求 $|AB|^{2}+ |BC|^{2}+ |CA|^{2}$ 的最小值;

19. 已知函数 $f(x) = \cos x + \lambda \ln(1+x)$, 且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线斜率为 $1$.

(1) 求 $f(x)$ 的表达式;

(2) 若 $f(x) \leq ax+1$ 恒成立, 求 $a$ 的值.

(3) 求证: $\displaystyle \sum\limits_{k=n+1}^{2n}f(\sin \frac{1}{k}-1) < \ln 2, n \in \mathbb{N}^{*}$.