2024年浙江金丽衢十二校高三第二次联考

1. 已知集合 $A = \{0,1,2,3\}$, $B= \{x|x=3k-1,k\in N\}$,则 $A\cap B=$（　　）

2. 若复数 $z$ 满足: $z+2\bar{z}=3-2i$,则 $|z|$ 为（　　）

3. 若函数 $f(x) = \ln(e^{x}+1) + ax$ 为偶函数,则实数 $a$ 的值为（　　）

4. 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{a-1}=1$ 的离心率 $e$ 的可能取值为（　　）

5. 在 $\triangle ABC$ 中,“$A,B,C$ 成等差数列且 $\sin A,\sin B,\sin C$ 成等比数列”是“$\triangle ABC$ 是正三角形”的（　　）

6. 已知抛物线 $C_{1}:x^{2}= 2y$ 的焦点为 $F$,以 $F$ 为圆心的圆 $C$ 交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点,交 $C_{1}$ 的准线于 $C, D$ 两点,若四边形 $ABCD$ 是矩形,则圆 $C$ 的方程为（　　）

7. 已知函数 $f(x) = \begin{cases}-x+1, & x\leq 0 \\ \ln x, & x>0\end{cases}$. 若 $f(x_{1}) = f(x_{2}) (x_{1}<x_{2})$,则 $x_{2}-x_{1}$ 的取值范围为（　　）

8. 在三棱锥 $D-ABC$ 中,底面是边长为 $2$ 的正三角形,若 $AD$ 为三棱锥 $D-ABC$ 的外接球直径,且 $AC$ 与 $BD$ 所成角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt{21}}{7}$,则该外接球的表面积为（　　）

9. 关于函数 $f(x) = 2\sin x\cos x + 2\sqrt{3}\cos^{2}x$,下列说法正确的是（　　）

(A) 最小正周期为 $2\pi$

(B) 关于点 $(-\dfrac{\pi}{6},\sqrt{3})$ 中心对称

(C) 最大值为 $\sqrt{3}+2$

(D) 在区间 $[-\dfrac{\pi}{12},\dfrac{\pi}{12}]$ 上单调递减

10. 设定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$,若 $\forall x\in R$,均有 $xf'(x) = (x+1)f(x)$,则（　　）

(A) $f(0) = 0$

(B) $f''(-2) = 0(f''(x)$ 为 $f(x)$ 的二阶导数)

(C) $f(2) < 2f(1)$

(D) $x=-1$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点

11. 已知正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$,的棱长为 $1$,点 $P$ 是正方形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 上的一个动点,初始位置位于点 $A_{1}$ 处,每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为 $\dfrac{1}{4}$,向对角顶点移动的概率为 $\dfrac{1}{2}$,如当点 $P$ 在点 $A_{1}$ 处时,向点 $B_{1}, D_{1}$ 移动的概率均为 $\dfrac{1}{4}$,向点 $C_{1}$ 移动的概率为 $\dfrac{1}{2}$,则（　　）

(A) 移动两次后,“$|PC_{1}|=\sqrt{3}$”的概率为 $\dfrac{3}{8}$

(B) 对任意 $n\in N^{*}$,移动 $n$ 次后,“$PA \parallel$ 平面 $BDC_{1}$”的概率都小于 $\dfrac{1}{3}$

(C) 对任意 $n\in N$,移动 $n$ 次后,“$PC \perp$ 平面 $BDC_{1}$”的概率都小于 $\dfrac{1}{2}$

(D) 对任意 $n\in N^{*}$,移动 $n$ 次后,四面体 $P-BDC_{1}$ 体积 $V$ 的数学期望 $E(V)<\dfrac{1}{5}$ (注:当点 $P$ 在平面 $BDC_{1}$ 上时,四面体 $P-BDC_{1}$ 体积为 $0$)

12. 已知圆柱的轴截面面积为 $4$,则该圆柱侧面展开图的周长最小值为 $\underline{\qquad}$.

13. 某中学的 $A、B$ 两个班级有相同的语文、数学、英语教师,现对此 $2$ 个班级某天上午的 $5$ 节课进行排课, $2$ 节语文课, $2$ 节数学课, $1$ 节英语课,要求每个班级的 $2$ 节语文课连在一起, $2$ 节数学课连在一起,则共有 $\underline{\qquad}$ 种不同的排课方式.(用数字作答)

14. 设正 $n$ 边形的边长为 $1$,顶点依次为 $A_{1}, A_{2}, \dots,A_{n}$,若存在点 $P$ 满足 $\overrightarrow{PA_1}\cdot\overrightarrow{PA_2}=0$,且 $\sum\limits_{k=1}^{n}\overrightarrow{PA_k}^{2}= 1$,则 $n$ 的最大值为 $\underline{\qquad}.($参考数据:$\tan 36^{\circ}\approx 0.73$)

15. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$,记 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和,若 $S_{5}=a_{3}+20, S_{15}= a_{2}a_{3}a_{8}$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 若 $d>0,b_{n}=\dfrac{4S_n}{a_n a_{n+1}}(n\in N^{*})$,数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$,求证: $T_{n}< n+\dfrac{1}{2}$.

16. 如图,在四棱锥 $P-ABCD$ 中,四边形 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形,平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$, $PA=PD=\sqrt{5}$,点 $E$ 是线段 $AD$ 的中点, $M$ 是 $CD$ 的中点, $CM=2MP$.

(1) 证明: $PE \parallel$ 平面 $BDM$;

(2) 求平面 $AMB$ 与平面 $BDM$ 的夹角.

17. 设函数 $f(x)=e^{x}-\ln(x+a),a\in R$.

(1) 当 $a=1$ 时,求函数 $f(x)$ 的单调区间;

(2) 若对定义域内任意的实数 $x$,恒有 $f(x) \geq a$,求实数 $a$ 的取值范围.(其中 $e\approx 2.71828$ 是自然对数的底数)

18. 已知抛物线 $E:y^{2}= 4x$,点 $A,B,C$ 在抛物线 $E$ 上,且 $A$ 在 $x$ 轴上方, $B$ 和 $C$ 在 $x$ 轴下方 ($B$ 在 $C$ 左侧),$A,C$ 关于 $x$ 轴对称,直线 $AB$ 交 $x$ 轴于点 $M$,延长线段 $CB$ 交 $x$ 轴于点 $Q$,连接 $QA$.

(1) 证明: $\dfrac{\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OQ}|}$ 为定值 ($O$ 为坐标原点);

(2) 若点 $Q$ 的横坐标为 $-1$,且 $\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}= \dfrac{8}{9}$,求 $\triangle AQB$ 的内切圆的方程.

19. 设 $p$ 为素数,对任意的非负整数 $n$,记 $n=a_{0}p^{0}+ a_{1}p^{1}+ \dots + a_{k}p^{k}$, $W_{p}(n) = a_{0}+a_{1}+a_{2}+\dots+a_{k}$,其中 $a_{i}\in \{0,1,2,\dots,p-1\} (0\leq i\leq k)$,如果非负整数 $n$ 满足 $W_{p}(n)$ 能被 $p$ 整除,则称 $n$ 对 $p$ “协调”.

(1) 分别判断 $194,195,196$ 这三个数是否对 $3$ “协调”,并说明理由;

(2) 判断并证明在 $p^{2}n, p^{2}n+1, p^{2}n+2, \dots, p^{2}n+(p^{2}-1)$ 这 $p^{2}$ 个数中,有多少个数对 $p$ “协调”;

(3) 计算前 $p^{2}$ 个对 $p$ “协调”的非负整数之和.