2002年上海卷理

1. 若 $z \in \mathbb{C}$, $(3+z)i=1$ ($i$ 为虚数单位),则 $z=$ __________.

2. 已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$,且 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5$, 则 $(2\vec{a}- \vec{b}) \cdot \vec{a}=$ __________.

3. 方程 $\log_{3}(1-2 \cdot 3^{x})=2x+1$ 的解 $x=$ __________.

4. 若正四棱锥的底面边长为 $2\sqrt{3}$ cm,体积为 $4$ cm$^{3}$,则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 __________.

5. 在二项式 $(1+3x)^{n}$ 和 $(2x+5)^{n}$ 的展开式中,各项系数之和分别记为 $a_{n}$、$b_{n}$, $n$ 是正整数,则 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n} - 2b_{n}}{3a_{n} - 4b_{n}}=$ __________.

6. 已知圆 $(x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ 和圆外一点 $P(0,2)$,过点 $P$ 作圆的切线,则两条切线夹角的正切值是 __________.

7. 在某次花样滑冰比赛中,发生裁判受贿事件,竞赛委员会决定将裁判由原来的 $9$ 名增至 $14$ 名,但只任取其中 $7$ 名裁判的评分作为有效分,若 $14$ 名裁判中有 $2$ 人受贿,则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 __________ (结果用数值表示)

8. 曲线 $\begin{cases}x = t^{2} - 1 \\ y = 2t + 1\end{cases}$ ($t$ 为参数)的焦点坐标是 __________.

9. 若 $A, B$ 两点的极坐标 $\displaystyle A (4,\frac{5\pi}{6})$、$B(6,0)$, 则 $AB$ 中点的极坐标是 __________.

10. 设函数 $f(x) = \sin 2x$, 若 $f(x+t)$ 是偶函数,则 $t$ 的一个可能值是 __________.

11. 若数列 $\{a_{n}\}$ 中,$a_{1} = 3$,且 $a_{n+1}= a_{n}^{2}$ ($n$ 是正整数),则数列的通项 $a_{n} =$ __________.

12. 已知函数 $y=f(x)$ (定义域为 $D$,值域为 $A$)有反函数 $y=f^{-1}(x)$,则方程 $f(x) = 0$ 有解 $x = a$, 且 $f(x) > x(x\in D)$ 的充要条件是 $y = f^{-1}(x)$ 满足 __________.

13. 如图,与复平面中的阴影部分(含边界)对应的复数集合是（　　）

14. 已知直线 $l,m$,平面 $\alpha,\beta$,且 $l \subset \alpha, m \subset \beta$,给出下列四个命题.

①若 $\alpha \text{ // }\beta$, $l \text{ // }m$; ②若 $l \text{ // }m, \alpha \text{ // }\beta$; ③若 $\alpha \perp \beta$, 则 $l \perp m$; ④若 $l \perp m, \alpha \perp \beta$.

15. 函数 $y = x + \sin |x|, x \in [-\pi,\pi]$ 的大致图象是（　　）

16. 一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温 ($^{\circ} C$)有一定的关系.图

(1) 表示某年 $12$ 个月中每月的平均气温,图

(2) 表示某家庭在这年 $12$ 个月中每月的用电量,根据这些信息,以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中,正确是（　　）

17. 如图,在直三棱柱 $ABO - A'B'O'$ 中, $OO' = 4, OA = 4, OB = 3$, $\angle AOB = 90^{\circ}$, $D$ 是线段 $A'B'$ 的中点,$P$ 是侧棱 $BB'$ 上的一点,若 $OP \perp BD$, 求 $OP$ 与底面 $AOB$ 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

18. 已知点 $A(-\sqrt{3},0)$ 和 $B(\sqrt{3},0)$,动点 $C$ 到 $A$、$B$ 两点的距离之差的绝对值为 $2$,点 $C$ 的轨迹与直线 $y=x-2$ 交于 $D$、$E$ 两点,求线段 $DE$ 的长.

19. 已知函数 $f(x) = x^{2} + 2x \cdot \tan \theta - 1$, $x \in [-1, \sqrt{3}]$, 其中 $\displaystyle \theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

(1) 当 $\displaystyle \theta = -\frac{\pi}{6}$ 时,求函数 $y = f(x)$ 的最大值与最小值.

(2) 求实数 $\theta$ 的取值范围,使 $y = f(x)$ 在区间 $[-1,\sqrt{3}]$ 上是单调函数.

20. 某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 $80\%$ 出售,同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:

根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如,购买标价为 $400$ 元的商品,则消费金额为 $320$ 元,获得的优惠额为: $400\times 0.2 + 30 = 110$ (元), 设购买商品得到的优惠率 $\displaystyle = \frac{购买商品获得的优惠额}{商品的标价}$. 试问:

(1) 若购买一件标价为 $1000$ 元的商品,顾客得到的优惠率是多少?

(2) 对于标价在 $[500,800]$ (元) 内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不小于 $\displaystyle \frac{1}{4}$ 的优惠率?

21. 已知函数 $f(x)=a \cdot b^{x}$ 的图象过点 $\displaystyle A(\frac{1}{4}, 1)$ 和 $B(5,1)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;

(2) 记 $a_{n} = \log_{2} f(n)$, $n$ 是正整数,$S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和,解关于 $n$ 的不等式 $a_{n} S_{n} \le 0$;

(3) 对于 (2) 中的 $a_{n}$ 与 $S_{n}$, 整数 $96$ 是否为数列 $\{a_{n} S_{n}\}$ 中的项?若是,则求出相应的项数;若不是,则说明理由.

22. 规定 $\displaystyle C_{m}^{x} = \frac{x(x-1)\dots(x-m+1)}{m!}$,其中 $x \in \mathbb{R}$, $m$ 是正整数,且 $C_{0}^{x} = 1$,这是组合数 $C_{m}^{n}$ ($n,m$ 是正整数,且 $m\le n$)的一种推广.

(1) 求 $C_{5}^{1}$ 的值.

(2) 设 $x>0$,当 $x$ 为何值时, $\displaystyle \frac{C_{2}^{x}}{(C_{1}^{x})^{2}}$ 取得最小值?

(3) 组合数的两个性质:① $C_{m}^{n}=C_{n-m}^{n}$; ② $C_{m}^{n}+C_{m-1}^{n}=C_{m+1}^{n}$ 是否都能推广到 $C_{m}^{x}$ ($x \in \mathbb{R}$, $m$ 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由.