2024年全国甲卷

1. 若 $z = \sqrt{2}i$, 则 $z\overline{z}=$（　　）

2. 已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 9\}$, $B = \{x | x + 1\in A\}$, 则 $A\cap B =$（　　）

3. 设向量 $\boldsymbol{a}= (x + 1,x)$, $\boldsymbol{b}= (x, 2)$, $\boldsymbol{c}= (1,1)$, 若 $\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 共线,则 $x =$（　　）

4. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加,每人出场一次,出场次序由随机抽签确定,则丙不是第一个出场,且甲或乙最后出场的概率是（　　）

5. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.已知 $S_{9}= 1$, 则 $a_{3}+ a_{7}=$（　　）

6. 已知双曲线的两个焦点分别为 $(0,4)$, $(0,-4)$,点 $(-6,4)$ 在该双曲线上,则该双曲线的离心率为（　　）

7. 设函数 $f(x) = \dfrac{e^x + 2\sin x}{1+x^2}$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）

8. 函数 $y = -x^{2}+ (e^{x}-e^{-x})\sin x$ 在区间 $[-2.8,2.8]$ 的图象大致为 （　　）

9. 直线 $2x-y-2=0$ 与圆 $x^{2}+ y^{2}-6x-8y = 0$ 交于 $A, B$ 两点,则 $|AB| =$（　　）

10. 已知 $\dfrac{\cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}= \sqrt{3}$, 则 $\tan (\alpha + \dfrac{\pi}{3}) =$（　　）

11. 设 $\alpha, \beta$ 为两个平面, $m,n$ 为两条直线,且 $\alpha\cap\beta=m$.下述四个命题:

①若 $m \parallel n$, 则 $n \parallel \alpha$ 或 $n \parallel \beta$;

②若 $m \perp n$, 则 $n \perp \alpha$ 或 $n \perp \beta$;

③若 $n \parallel \alpha$ 且 $n \parallel \beta$,则 $m \parallel n$;

④若 $n$ 与 $\alpha, \beta$ 所成的角相等,则 $m \perp n$.

其中所有真命题的编号是（　　）

12. 记 $\triangle ABC$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $B = 60^{\circ}$, $b^{2}= \dfrac{9}{4}ac$, 则 $\sin A + \sin C =$（　　）

13. 函数 $f(x) = \sin x - \sqrt{3}\cos x$ 在区间 $[0,\pi]$ 的最大值为 $\underline{\qquad}$.

14. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为 $r_{1}$, 下底面半径均为 $r_{2}$,圆台甲、乙的母线长分别为 $2(r_{2}-r_{1})$, $3(r_{2}-r_{1})$, 则圆台甲与乙的体积之比为 $\underline{\qquad}$.

15. 已知 $a > 1$ 且 $\dfrac{1}{\log_2 a}+ \dfrac{1}{\log_4 a}= \dfrac{5}{2}$, 则 $a=$ $\underline{\qquad}$.

16. 当 $x > 0$ 时,曲线 $y = x^{3}-3x$ 与曲线 $y=(x-1)^{2}+a$ 有两个交点,则 $a$ 的取值范围是 $\underline{\qquad}$.

17. 记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.已知 $2S_{n}= 3a_{n+1}-3$.

(1) 求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 求数列 $\{S_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

18. 某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 $150$ 件进行检验,数据如下:

(1) 填写如下列联表:

能否有 $95\%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有 $99\%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?

(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p = 0.5$.设为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率,如果 $\hat{p}> p + 1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的 $150$ 件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?($\sqrt{150}\approx 12.247$)

附: $K^{2}= \dfrac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b + d)}$

19. 如图,在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中,四边形 $ABCD$ 与四边形 $ADEF$ 均为等腰梯形, $EF \parallel AD$, $BC \parallel AD$, $AD = 4$, $AB = BC = EF = 2$, $ED = \sqrt{10}$, $FB = 2\sqrt{3}$, $M$ 为 $AD$ 的中点.

(1) 证明: $BM \parallel$ 平面 $CDE$;

(2) 求 $M$ 到平面 $FAB$ 的距离.

20. 已知函数 $f(x)=a(x-1) - \ln x + 1$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;

(2) 设 $a \leq 2$, 证明: 当 $x>1$ 时, $f(x) < e^{x-1}$.

21. 设椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1$ $(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$, 点 $M(1,\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ 在 $C$ 上, 且 $MF \perp x$ 轴.

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 过点 $P(4,0)$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点, $N$ 为线段 $FP$ 的中点,直线 $NB$ 交直线 $MF$ 于点 $Q$,证明: $AQ \perp y$ 轴.

22. 在直角坐标系 $xOy$ 中,以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho = \rho\cos \theta + 1$.

(1) 写出 $C$ 的直角坐标方程;

(2) 设直线 $l: \begin{cases}x=t, \\ y=t+a\end{cases}$ ( $t$ 为参数),若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A, B$ 两点,且 $|AB| = 2$, 求 $a$.

23. 已知实数 $a, b$ 满足 $a+b \geq 3$.

(1) 证明: $2a^{2}+2b^{2}> a + b$;

(2) 证明: $|a - 2b^{2}|+|b-2a^{2}| \geq 6$.