1986年全国卷理科

1. 在下列各数中,已表示成三角形式的复数是（　　）

2. 函数 $y= (0.2)^{-x}+1$ 的反函数是（　　）

3. 极坐标方程 $\displaystyle \rho\cos\theta = \frac{4}{\rho}$ 表示（　　）

4. 函数 $y= \sqrt{2}\sin 2x \cos 2x$ 是（　　）

5. 给出 $20$ 个数: $87,91,94, 88, 93, 91, 89, 87, 92, 86, 90, 92, 88, 90, 91, 86, 89,92,95,88$,它们的和是（　　）

6. 设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的（　　）

7. 如果方程 $x^{2}+ y^{2} + Dx + Ey + F = 0$ ($D^{2} + E^{2}-4F>0$)所表示的曲线关于直线 $y=x$ 对称,那么必有（　　）

8. 在正方形 $SG_{1}G_{2}G_{3}$ 中、$E、F$ 分别是 $G_{1}G_{2}$ 及 $G_{2}G_{3}$ 的中点,$D$ 是 $EF$ 的中点,现在沿 $SE、SF$ 及 $EF$ 把这个正方形折成一个四面体,使 $G_{1}、G_{2}、G_{3}$ 三点重合,重合后的点记为 $G$,那么,在四面体 $S-EFG$ 中必有（　　）

9. 在下列各图中, $y = ax^{2}+bx$ 与 $y = ax + b$ ($ab\ne0$)的图象只可能是（　　）

10. 当 $x\in [-1,0]$ 时,在下面关系式中正确的是（　　）

11. 求方程 $\sqrt{25^{(x^2+x-0.5)}}= \sqrt{5}$ 的解.

12. 已知 $\displaystyle w = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$,求 $w^{2}+w+1$ 的值.

13. 在 $xOy$ 平面上,四边形 $ABCD$ 的四个顶点坐标依次为 $(0,0)、(1,0)、(2,1)$ 及 $(0,3)$,求这个四边形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的几何体的体积.

14. 求 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{3^{n}+(-2)^{n}}{3^{n+1}+(-2)^{n+1}}$.

15. 求 $\displaystyle (2x^{3} - \frac{1}{2x^{2}})^{5}$ 展开式中的常数项.

16. 已知 $\displaystyle \sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$,求 $\sin^{3}\theta - \cos^{3}\theta$ 的值.

17. 如图, $AB$ 是圆 $O$ 的直径,$PA$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面,$C$ 是圆周上不同于 $A、B$ 的任一点,求证:平面 $PAC$ 垂直于平面 $PBC$.

18. 当 $\sin 2x > 0$,求不等式 $\log_{0.5}(x^{2}-2x-15)>\log_{0.5}(x+13)$ 的解集.

19. 如图,在平面直角坐标系中,在 $y$ 轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点 $A、B$.试在 $x$ 轴的正半轴(坐标原点除外)上求点 $C$,使 $\angle ACB$ 取得最大值.

20. 已知集合 $A$ 和集合 $B$ 各含有 $12$ 个元素,$A \cup B$ 含有 $4$ 个元素,试求同时满足下面两个条件的集合 $C$ 的个数: (1) $C \subset A \cup B$ 且 $C$ 中含有 $3$ 个元素, (2) $C \cap A \ne \emptyset$ ($\emptyset$ 表示空集).

21. 过点 $M(-1,0)$ 的直线 $L_{1}$ 与抛物线 $y^{2} = 4x$ 交于 $P_{1}、P_{2}$ 两点.记:线段 $P_{1}P_{2}$ 的中点为 $P$;过点 $P$ 和这个抛物线的焦点 $F$ 的直线为 $L_{2}$; $L_{1}$ 的斜率为 $k$.试把直线 $L_{2}$ 的斜率与直线 $L_{1}$ 的斜率之比表示为 $k$ 的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.

22. 已知 $x_{1} > 0, x_{1}\ne1$,且 $\displaystyle x_{n+1}= \frac{x_{n}(x_{n}+3)}{3x_{n}^{2}+1}$, ($n = 1,2,\ldots$).试证:数列 {$x_n$} 或者对任意自然数 $n$ 都满足 $x_{n} < x_{n+1}$,或者对任意自然数 $n$ 都满足 $x_{n} > x_{n+1}$.

23. 求 $y=x\arctan x^{2}$ 的导数.

24. 求过点 $(-1,0)$ 并与曲线 $\displaystyle y=\frac{x+1}{x+2}$ 相切的直线方程.