1987年全国卷理科

1. 设 $S, T$ 是两个非空集合,且 $S \subset T, T \subset S$,令 $X = S \cap T$,那么 $S \cup X$ 等于（　　）

2. 设椭圆方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}= 1$ ($a>b>0$), 令 $c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}$,那么它的准线方程为（　　）

3. 设 $a, b$ 是满足 $ab<0$ 的实数,那么（　　）

4. 已知 $E, F, G, H$ 为空间中的四个点,设命题甲:点 $E, F, G, H$ 不共面,命题乙:直线 $EF$ 和 $GH$ 不相交,那么（　　）

5. 在区间 $(-\infty,0)$ 上为增函数的是（　　）

6. 要得到函数 $\displaystyle y=\sin (2x - \frac{\pi}{3})$ 的图象,只需将函数 $y = \sin 2x$ 的图象 (如图)（　　）

7. 极坐标方程 $\rho = \sin\theta+2\cos\theta$ 所表示的曲线是（　　）

8. 函数 $y = \arccos(\cos x)$ ($\displaystyle x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$) 的图象是（　　）

9. 求函数 $\displaystyle y=\tan\frac{2x}{3}$ 的周期.

10. 已知方程 $\displaystyle \frac{x^{2}}{2+\lambda}+ \frac{y^{2}}{1+\lambda}= 1$ 表示双曲线,求 $\lambda$ 的范围.

11. 若 $(1+x)^{n}$ 的展开式中,$x^{3}$ 的系数等于 $x^{7}$ 的系数的 $7$ 倍,求 $n$.

12. 求极限: $\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{n^{2}+1}+ \frac{2}{n^{2}+1}+ \frac{3}{n^{2}+1}+ \ldots + \frac{2n}{n^{2} + 1})$.

13. 在抛物线 $y = 4x^{2}$ 上求一点,使该点到直线 $y = 4x - 5$ 的距离为最短.

14. 由数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字且数字 $1$ 与 $2$ 不相邻的五位数,求这种五位数的个数.

15. 一个正三棱台的下底和上底的周长分别为 $30\text{ cm}$ 和 $12\text{ cm}$,而侧面积等于两底面积之差,求斜高.

16. 求 $\sin 10° \sin 30° \sin 50° \sin 70°$ 的值.

17. 如图,三棱锥 $P-ABC$ 中,已知 $PA \perp BC, PA = BC = L$, $PA, BC$ 的公垂线 $ED = h$. 求证:三棱锥 $P-ABC$ 的体积 $\displaystyle V = \frac{1}{6}L^{2}h$.

18. 设对所有实数 $x$,不等式 $\displaystyle x^{2}\log_{2}\frac{4(a + 1)}{a}+ 2x\log_{2}\frac{a}{a+1}+ \log_{2}\frac{(a + 1)^{2}}{4a^{2}}> 0$ 恒成立,求 $a$ 的取值范围.

19. 设复数 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 满足关系式 $z_{1}z_{2} + \bar{A}z_{1} + A\bar{z_2}=0$,其中 $A$ 为不等于 $0$ 的复数.证明: (1) $|z_{1} + A||z_{2} + A| = |A|^{2}$; (2) $\displaystyle \frac{z_{1} + A}{\bar{z_1} + \bar{A}}= \frac{\bar{z_2} + \bar{A}}{z_{2} + A}$.

20. 设数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots$ 的前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 与 $a_{n}$ 的关系是 $\displaystyle S_{n} = -ba_{n} + \frac{1 - b}{(1+b)^{2}}$,其中 $b$ 是与 $n$ 无关的常数,且 $b \ne -1$. (1) 求 $a_{n}$ 和 $a_{n-1}$ 的关系式;

(2) 写出用 $n$ 和 $b$ 表示 $a_{n}$ 的表达式;

(3) 当 $0<b<1$ 时,求极限 $\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}$.

21. 定长为 $3$ 的线段 $AB$ 的两端点在抛物线 $y^{2}=x$ 上移动,记线段 $AB$ 的中点为 $M$,求点 $M$ 到 $y$ 轴的最短距离,并求此时点 $M$ 的坐标.

22. 求极限: $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}(1 - \frac{1}{2^{n}})^{\frac{3}{2^{n}}}$.

23. 设 $y = x\ln(1+x^{2})$, 求 $y'$.