1980年全国卷文

1. 化简: $\displaystyle \frac{1-3i}{3-2i}$

2. 解方程组: $\begin{cases}2x-3y-z = 5, \\ 4x+2y+3z = 9, \\ 3x+2y = -1.\end{cases}$

3. 用解析法证明:直径所对的圆周角是直角.

4. 某地区 1979年的轻工业产值占工业总产值的20%,要使1980年的工业总产值比上一年增长10%,且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%,问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几?

5. 设$\displaystyle \frac{3\pi}{4}< \theta < \frac{5\pi}{4}$,化简: $\sqrt{\frac{\cos^{2} (\frac{\pi}{4}- \theta) [\sin (\frac{3\pi}{4}-\theta) - \sin (\theta-\frac{\pi}{4})]}{\sin (\theta+\frac{\pi}{4})}}$

6.

(1) 若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形,证明:直线AC必平分对角线BD;

(2) 写出

(1) 的逆命题,这个逆命题是否正确?为什么?

7. 如图,长方形框架 ABCD-A'B'C'D' 三边AB、AD、AA'的长分别为6、8、3.6,AE与底面的对角线 B'D' 垂直于E.

(1) 证明 A'E $\perp$ B'D'; (2) 求AE 的长.

\begin{figure}[H] $\centering$ $\includegraphics{images/1980_national_liberal_1.png}$ \end{figure}

8.

(1) 把参数方程 $\begin{cases}x = \sec t, \\ y = 2 \tan t,\end{cases}$ ($t$为参数)化为直角坐标方程,并画出方程的曲线的略图; (2) 当$\displaystyle 0 \le t < \frac{\pi}{2}$ 及 $\displaystyle \pi < t < \frac{3\pi}{2}$时,各得到曲线的哪一部分?