2002年上海卷

1. 函数 $\displaystyle y = \frac{1}{3 - 2^{x - x^2}}$ 的定义域为 ______.

2. 若椭圆的两个焦点坐标为 $F_{1}(-1,0)$, $F_{2}(5,0)$, 长轴长为 10, 则椭圆的方程为 ______.

3. 若全集 $I = R$, $f(x)$、$g(x)$ 均为 $x$ 的二次函数, $P = \{x \mid f(x) < 0\}$, $Q = \{x \mid g(x) \ge 0\}$, 则不等式组 $\begin{cases}f(x) < 0 \\ g(x) < 0\end{cases}$ 的解集可用 $P, Q$ 表示为 ______.

4. 设 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数. 若当 $x \ge 0$ 时, $f(x) = \log_{3}(1+x)$, 则 $f(-2) =_{_{_{_{_{_{}}}}}}$.

5. 若在 $\displaystyle (\sqrt[3]{x}- \frac{1}{\sqrt{x}})^{n}$ 的展开式中, 第 4 项是常数项, 则 $n =_{_{_{_{_{_{}}}}}}$.

6. 已知 $\displaystyle f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$, 若 $\displaystyle x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$, 则 $f(\cos\alpha) + f(-\cos\alpha)$ 可化简为 ______.

7. 六位身高全不相同的同学拍照留念, 摄影师要求前后两排各三人, 则后排每人均比前排同学高的概率是 ______.

8. 设曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的方程分别为 $F_{1}(x,y) = 0$ 和 $F_{2}(x,y) = 0$, 则点 $P(a, b) \in C_{1} \cap C_{2}$ 的一个充分条件为 ______.

9. 若 $f(x) = 2\sin\omega x$ ($0 < \omega < 1$) 在区间 $\displaystyle [0, \frac{\pi}{2}]$ 上的最大值是 $\sqrt{2}$, 则 $\omega =_{_{_{_{_{_{}}}}}}$.

10. 如图表示一个正方体表面的一种展开图, 图中的四条线段 $AB, CD, EF$ 和 $GH$ 在原正方体中相互异面的有 ______ 对.

11. 如图所示, 客轮以速度 $v_{0}$ 由 $A$ 至 $B$ 再到 $C$ 匀速航行, 货轮从 $AC$ 的中点 $D$ 出发, 以速度 $v$ 沿直线匀速航行, 将货物送达客轮. 已知 $AB \perp BC$, 且 $AB = BC = 50$ 海里. 若两船同时出发, 则两船相遇之处距 $C$ 点 ______ 海里.(结果精确到小数点后 1 位)

12. 如图, 若从 $O$ 所作的两条射线 $OM, ON$ 上分别有点 $M_{1}, M_{2}$ 与点 $N_{1}, N_{2}$, 则三角形面积之比 $\frac{S_{\triangle OM_1N_1}}{S_{\triangle OM_2N_2}}= \frac{OM_{1} \cdot ON_{1}}{OM_{2} \cdot ON_{2}}$. 若从 $O$ 所作的不在同一平面内的三条射线 $OP, OQ$ 和 $OR$ 上, 分别有点 $P_{1}, P_{2}$, 点 $Q_{1}, Q_{2}$ 和点 $R_{1}, R_{2}$, 则类似的结论为 ______.

13. 若 $a, b, c$ 为任意向量, $m \in R$, 则下列等式不一定成立的是（　　）

14. 在 $\triangle ABC$ 中, 若 $2\cos B \sin A = \sin C$, 则 $\triangle ABC$ 的形状一定是（　　）

15. 设 $A > 0, a \neq 1$, 函数 $y = \log_{a} x$ 的反函数和 $y = \log_{a^2}x$ 的反函数的图象关于（　　）

16. 设 $\{a_{n}\}$ ($n \in N$) 是等差数列, $S_{n}$ 是其前 $n$ 项的和, 且 $S_{5} < S_{6}$, $S_{6} = S_{7} = S_{8}$, 则下列结论错误的是（　　）

17. 已知 $z, w$ 为复数, $(1+3i)z$ 为纯虚数, $\displaystyle w = \frac{z}{2+i}$, 且 $|w| = 5\sqrt{2}$, 求 $w$.

18. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{b^{2}}= 1$ ($a > 0, b > 0$) 的焦点, 过 $F_{2}$ 作垂直 $x$ 轴的直线交双曲线于点 $P$, 且 $\angle PF_{1}F_{2} = 30^{\circ}$, 求双曲线的渐近方程.

19. 如图, 三棱柱 $OAB - O_{1}A_{1}B_{1}$, 平面 $OBB_{1}O_{1} \perp$ 平面 $OAB$, $\angle O_{1}OB = 60^{\circ}$, $\angle AOB = 90^{\circ}$, 且 $OB = OO_{1} = 2, OA = \sqrt{3}$. 求:

(1) 二面角 $O_{1} - AB - O$ 的大小;

(2) 异面直线 $A_{1}B$ 与 $AO_{1}$ 所成角的大小

(上述结果用反三角函数值表示)

20. 已知函数 $\displaystyle f(x) = ax^{2} + \frac{x-2}{x+1}$ ($a > 1$).

(1) 证明: 函数 $f(x)$ 在 $(-1, +\infty)$ 上为增函数;

(2) 用反证法证明方程 $f(x)=0$ 没有负数根.

21. 某公司全年的利润为 $b$ 元, 其中一部分作为奖金发给 $n$ 位职工, 奖金分配方案如下: 首先将职工按工作业绩 (工作业绩均不相同) 从大到小, 由 1 到 $n$ 排序, 第 1 位职工得奖金 $\displaystyle \frac{b}{n}$ 元, 然后再将余额除以 $n$ 发给第 2 位职工, 按此方法将奖金逐一发给每位职工, 并将最后剩余部分作为公司发展基金.

(1) 设 $a_{k}$ ($1 \le k \le m$) 为第 $k$ 位职工所得奖金额, 试求 $a_{2}, a_{3}$, 并用 $k, n$ 和 $b$ 表示 $a_{k}$ (不必证明);

(2) 证明 $a_{k} > a_{k+1}$ ($k = 1, 2, \dots, n-1$), 并解释此不等式关于分配原则的实际意义;

(3) 发展基金与 $n$ 和 $b$ 有关, 记为 $P_{n}(b)$, 对常数 $b$, 当 $n$ 变化时, 求 $\lim\limits_{n \to \infty}P_{n}(b)$.

22. 对于函数 $f(x)$, 若存在 $x_{0} \in R$, 使 $f(x_{0}) = x_{0}$ 成立, 则称 $x_{0}$ 为 $f(x)$ 的不动点. 已知函数 $f(x) = ax^{2} + (b+1)x + (b-1)$ ($a \neq 0$).

(1) 当 $a = 1, b = -2$ 时, 求函数 $f(x)$ 的不动点;

(2) 若对任意实数 $b$, 函数 $f(x)$ 恒有两个相异的不动点, 求 $a$ 的取值范围;

(3) 在 (2) 的条件下, 若 $y = f(x)$ 图上 $A, B$ 两点的横坐标是函数 $f(x)$ 的不动点, 且 $A, B$ 两点关于直线 $\displaystyle y = kx + \frac{2a^{2}+1}{2}$ 对称, 求 $b$ 的最小值.