2021年全国卷I文

1. 已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, 集合 $M = \{1, 2\}, N = \{3,4\}$, 则 $\complement_{U}(M \cup N) =$（　　）

2. 设 $iz=4+3i$, 则 $z =$（　　）

3. 已知命题 $p:\exists x \in R, \sin x < 1$; 命题 $q: \forall x \in R, e^{x}\geq 1$, 则下列命题中为真命题的是（　　）

4. 函数 $f(x) = \sin \dfrac{x}{3}+ \cos \dfrac{x}{3}$ 的最小正周期和最大值分别是（　　）

5. 若 $x, y$ 满足约束条件 $\begin{cases}x + y \geq 4, \\ x - y \leq 2, \\ y \leq 3,\end{cases}$ 则 $z=3x+y$ 的最小值为（　　）

6. $\cos^{2}\dfrac{\pi}{12}- \sin^{2}\dfrac{5\pi}{12}=$（　　）

7. 在区间 $(0, \dfrac{3}{4})$ 随机取一个数, 则取到的数小于 $\dfrac{1}{2}$ 的概率为（　　）

8. 下列函数中最小值为 $4$ 的是（　　）

9. 设函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$, 则下列函数中是奇函数的是（　　）

10. 在正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $P$ 为 $B_{1}D_{1}$ 的中点, 则直线 $PB$ 与 $AD_{1}$ 所成的角为（　　）

11. 设 $B$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{5}+ y^{2}= 1$ 的上顶点,点 $P$ 在 $C$ 上, 则 $|PB|$ 的最大值是（　　）

12. 设 $a \neq 0$, 若 $x=a$ 是函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点, 则（　　）

13. 已知向量 $\boldsymbol{a}= (2,5), \boldsymbol{b}= (\lambda, 4)$, 若 $\boldsymbol{a}\parallel \boldsymbol{b}$, 则 $\lambda=$ $\underline{\qquad}$

14. 双曲线 $\dfrac{x^2}{5}- \dfrac{y^2}{4}= 1$ 的右焦点到直线 $x+2y-8=0$ 的距离为 $\underline{\qquad}$

15. 记 $\triangle ABC$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 面积为 $\sqrt{3}$, $B = 60^{\circ}$, $a^{2}+c^{2}= 3ac$, 则 $b=$ $\underline{\qquad}$

16. 以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 $\underline{\qquad}($写出符合要求的一组答案即可)

17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备, 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高, 用一台旧设备和一台新设备各生产了 $10$ 件产品, 得到各件产品该项指标数据如下:

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均值分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$, 样本方差分别记为 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$.

(1) 求 $\bar{x}, \bar{y}, s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$;

(2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 (如果 $\bar{y}-\bar{x}\geq 2 \sqrt{\dfrac{s_1^2+s_2^2}{10}}$, 则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).

18. 如图,四棱锥 $P$-$ABCD$ 的底面是矩形, $PD \perp$ 底面 $ABCD$, $M$ 为 $BC$ 的中点,且 $PB \parallel AM$.

(1) 证明:平面 $PAM \perp$ 平面 $PBD$;

(2) 若 $PD = DC = 1$, 求四棱锥 $P$-$ABCD$ 的体积.

19. 设 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $1$ 的等比数列,数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n}= \dfrac{n a_n}{3}$,已知 $a_{1}, 3b_{2}, 9a_{3}$ 成等差数列.

(1) 求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 记 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和. 证明 $T_{n}< \dfrac{2}{3}S_{n}$.

20. 已知抛物线 $C: y^{2}= 2px$ ($p>0$) 的焦点 $F$ 到准线的距离为 $2$.

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 已知 $O$ 为坐标原点,点 $P$ 在 $C$ 上,点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{PQ}= 9\overrightarrow{QF}$,求直线 $OQ$ 斜率的最大值.

21. 设函数 $f(x) = x^{3}- x^{2}+ ax + 1$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;

(2) 求曲线 $y = f(x)$ 过坐标原点的切线与曲线 $y=f(x)$ 的公共点的坐标.

22. 在直角坐标系 $xOy$ 中,$C$ 的圆心为 $C(2,1)$, 半径为 $1$.

(1) 写出 $C$ 的一个参数方程;

(2) 过点 $F(4,1)$ 作 $C$ 的两条切线, 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.

23. 已知函数 $f(x) = |x - a| + |x + 3|$.

(1) 当 $a = 1$ 时,求不等式 $f(x) \geq 6$ 的解集;

(2) 若 $f(x) > -a$, 求 $a$ 的取值范围.