1984年全国卷理科

1. 数集 $X = \{(2n+1)\pi, n\text{是整数}\}$ 与数集 $\displaystyle Y = \{(4k\pm 1)\frac{\pi}{2}, k\text{是整数}\}$ 之间的关系是（　　）

2. 如果圆 $x^{2} + y^{2} + Gx + Ey + F=0$ 与 $x$ 轴相切于原点,那么（　　）

3. 如果 $n$ 是正整数,那么 $[1-(-1)^{n}](n^{2} - 1)$ 的值（　　）

4. $\arccos(-x)$ 大于 $\arccos x$ 的充分条件是（　　）

5. 如果 $\theta$ 是第二象限角,且满足 $\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}- \sin \frac{\theta}{2}= \sqrt{1-\sin\theta}$, 那么 $\displaystyle \frac{\theta}{2}$（　　）

6. 已知圆柱的侧面展开图是边长为 $2$ 与 $4$ 的矩形,求圆柱的体积.

7. 函数 $\log_{0.5}(x^{2}+4x+4)$ 在什么区间上是增函数?

8. 求方程 $\displaystyle (\sin x + \cos x)^{2} = \frac{1}{2}$ 的解集.

9. 求 $\displaystyle (x + \frac{1}{x^{2}})^{2}$ 的展开式中的常数项.

10. 求 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1-2^{-n}}{3^{-n}+1}$ 的值.

11. 要排一张有 $6$ 个歌唱节目和 $4$ 个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).

12. 设 $H(x) = \begin{cases}0, & x \le 0, \\ 1, & x > 0,\end{cases}$ 画出函数 $y = H(x-1)$ 的图象.

13. 画出极坐标方程 $\displaystyle (\rho - 2)(\theta - \frac{\pi}{4}) = 0$ ($\rho > 0$) 的曲线.

14. 已知三个平面两两相交,有三条交线,求证:这三条交线交于一点或互相平行.

15. 设 $c, d, x$ 为实数, $c \ne 0, x$ 为未知数.讨论方程 $\log_{(cx^2+d)}x = -1$ 在什么情况下有解,有解时求出它的解.

16. 设 $p \ne 0$, 实系数一元二次方程 $z^{2} - 2pz+q=0$ 有两个虚数根 $z_{1}, z_{2}$.再设 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内的对应点是 $Z_{1}, Z_{2}$.求以 $Z_{1}, Z_{2}$ 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.

17. 求经过定点 $M(1,2)$, 以 $y$ 轴为准线, 离心率为 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 的椭圆的左顶点的轨迹方程.

18. 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle A, \angle B, \angle C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且 $c = 10$, $\displaystyle \frac{\cos A}{\cos B}= \frac{b}{a}= \frac{4}{3}$, $P$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆上的动点.求点 $P$ 到顶点 $A, B, C$ 的距离的平方和的最大值与最小值.

19. 设 $a > 2$, 给定数列 {$x_n$},其中 $\displaystyle x_{1} = a, x_{n+1}= \frac{x_{n}^{2}}{2(x_{n}-1)}$ ($n = 1,2\ldots$). 求证: (1) $x_{n} > 2$, 且 $\displaystyle \frac{x_{n+1}}{x_{n}}< 1$ ($n = 1,2\ldots$); (2) 如果 $a \le 3$, 那么 $\displaystyle x_{n} \le 2 + \frac{1}{2^{n-1}}$ ($n = 1,2\ldots$); (3) 如果 $a > 3$, 那么当 $\displaystyle n > \frac{\lg a - \lg 3}{\lg 3}$ 时,必有 $x_{n+1}< 3$.