1979年全国卷理

1. 若 $(z-x)^{2}-4(x - y)(y - z) = 0$, 求证: $x, y, z$成等差数列.

2. 化简: $\displaystyle \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \csc^{2} x}}}$

3. 甲,乙二容器内都盛有酒精,甲有$V_{1}$公斤,乙有$V_{2}$公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为$m_{1}:n_{1}$,乙中纯酒精与水之比为$m_{2}:n_{2}$.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?

4. 叙述并证明勾股定理.

5. 外国船只除特许外不得进入离我海岸线D里以内的区域.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S里,海岸线是过A,B的直线,一外国船在P点,在A站测得$\angle BAP = \alpha$,同时在B站测得$\angle BAP= \beta$.问$\alpha$及$\beta$满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海域?

6. 设三棱锥V-ABC中, $\angle AVB = \angle BVC = \angle CVA = 90°$.求证:$\triangle ABC$是锐角三角形.

7. 美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500,如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几? (注意:$x<0.1$,可用: $\ln(1+x) \approx x$, 取$\lg 2=0.3$, $\ln 10 = 2.3$)

8. 设CEDF是一个已知圆的内接矩形,过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B.求证: $\displaystyle \frac{BF}{AE}= \frac{BC^{3}}{AC^{3}}$.

\begin{figure}[H] $\centering$ $\includegraphics{images/1979_national_sci_1.png}$ \end{figure}

9. 试问数列 $\lg 100$, $\displaystyle \lg (100 \sin \frac{\pi}{n})$, $\displaystyle \lg (100\sin^{2} \frac{\pi}{n})$, $\ldots$, $\displaystyle \lg (100\sin^{n-1}\frac{\pi}{n})$ 前多少项的和的值最大?并求这最大值.$(\lg 2 = 0.301)$

10. 设等腰$\triangle OAB$的顶角为20,高为$h$. (1) $\triangle OAB$ 内有一动点P,到三边OA, OB, AB的距离分别为$|PD|$,$|PF|$, $|PE|$,并且满足关系$|PD|\cdot|PF| = |PE|^{2}$. 求P点的轨迹;

(2) 在上述轨迹中定出点P的坐标,使得$|PD| + |PE| = |PF|$.