2005年广东卷

1. 若集合 $M = \{x | |x| \leq 2\}$, $N = \{x | x^{2}– 3x = 0\}$, 则 $M \cap N =$（　　）

2. 若 $(a-2i)i = b - i$, 其中 $a、b \in R$, $i$ 是虚数单位, 则 $a^{2}+ b^{2}=$（　　）

3. $\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{x+3-\sqrt{3x^{2}-9}}{x^2-9}=$（　　）

4. 已知高为 $3$ 的直棱柱 $ABC$-$A'B'C'$ 的底面是边长为 $1$ 的正三角形(如图所示), 则三棱锥 $B'-ABC$ 的体积为

（　　）

5. 若焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\dfrac{x^2}{m}+ \dfrac{y^2}{3}= 1$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$, 则 $m =$（　　）

6. 函数 $f(x) = x^{3}-3x^{2}+1$ 是减函数的区间为（　　）

7. 给出下列关于互不相同的直线 $m、l、n$ 和平面 $\alpha、\beta$ 的四个命题:

① 若 $m \subset \alpha, l \subset \alpha, A \notin m$, 则 $l$ 与 $m$ 不共面;

② 若 $m、l$ 是异面直线, $l \parallel \alpha, m \parallel \alpha$, 且 $n \parallel l, n \parallel m$, 则 $n \perp \alpha$;

③ 若 $l \parallel \alpha, m \parallel \beta, \alpha \parallel \beta$, 则 $l \parallel m$;

④ 若 $l \subset \alpha, m \subset \alpha, l \cap m = A, l \parallel \beta, m \parallel \beta$, 则 $\alpha \parallel \beta$.

其中为假命题的是（　　）

8. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 $1、2、3、4、5、6$), 骰子朝上的面的点数分别为 $X、Y$, 则 $\log_{2}XY = 1$ 的概率为（　　）

9. 在同一平面直角坐标系中, 函数 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称. 现将 $y=g(x)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $2$ 个单位, 再沿 $y$ 轴向上平移 $1$ 个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示), 则函数 $f(x)$ 的表达式为

（　　）

10. 已知数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{1}=\dfrac{x_1}{2}, x_{n}= \dfrac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2}), n = 3, 4, \ldots$. 若 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_{n}= 2$, 则 $x_{1}=$（　　）

11. 函数 $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-e^{x}}}$ 的定义域是 $\underline{\qquad}$.

12. 已知向量 $\vec{a}= (2,3), \vec{b}= (x, 6)$, 且 $\vec{a}\parallel \vec{b}$, 则 $x =$ $\underline{\qquad}$.

13. 已知 $(x \cos \theta+1)^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数与 $(x+\dfrac{1}{x^2})^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数相等, 则 $\cos \theta =$ $\underline{\qquad}$.

14. 设平面内有 $n$ 条直线 ($n \geq 3$), 其中有且仅有两条直线互相平行, 任意三条直线不过同一点. 若用 $f(n)$ 表示这条直线交点的个数, 则 $f(4)=$ $\underline{\qquad}$; 当 $n > 4$ 时, $f(n)=$ $\underline{\qquad} ($用 $n$ 表示)

15. 化简 $f(x) = \cos (\dfrac{6k+1}{3}\pi + 2x) + \cos (\dfrac{6k-1}{3}\pi -2x) + 2\sqrt{3}\sin (\dfrac{\pi}{3}+ 2x)$ ($x \in R, k \in Z$), 并求函数 $f(x)$ 的值域和最小正周期.

16. 如图所示, 在四面体 $P$-$ABC$ 中, 已知 $PA = BC = 6$, $PC = AB = 10$, $AC = 8$, $PB = 2\sqrt{34}$. $F$ 是线段 $PB$ 上一点, $CF = \dfrac{15}{17}\sqrt{34}$, 点 $E$ 在线段 $AB$ 上, 且 $EF \perp PB$.

(1) 证明: $PB \perp$ 平面 $CEF$;

(2) 求二面角 $B$-$CE$-$F$ 的大小.

17. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 抛物线 $y = x^{2}$ 上异于坐标原点的两不同动点 $A、B$ 满足 $AO \perp BO$(如图所示).

(1) 求 $\triangle AOB$ 的重心 $G$(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;

(2) $\triangle AOB$ 的面积是否存在最小值?若存在, 请求出最小值;若不存在, 请说明理由.

18. 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球, 黄、白乒乓球的数量比为 $s:t$. 现从箱中每次任意取出一个球, 若取出的是黄球则结束, 若取出的是白球, 则将其放回箱中, 并继续从箱中任意取出一个球, 但取球的次数最多不超过 $n$ 次, 以 $\xi$ 表示取球结束时已取到白球的次数.

(1) 求 $\xi$ 的分布列;

(2) 求 $\xi$ 的数学期望.

19. 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足 $f(2-x) = f(2+x)$, $f(7-x) = f(7+x)$, 且在闭区间 $[0,7]$ 上, 只有 $f(1) = f(3) = 0$.

(1) 试判断函数 $y=f(x)$ 的奇偶性;

(2) 试求方程 $f(x)=0$ 在闭区间 $[-2005,2005]$ 上的根的个数, 并证明你的结论.

20. 在平面直角坐标系中, 已知矩形 $ABCD$ 的长为 $2$, 宽为 $1$, $AB、AD$ 边分别在 $x$ 轴、$y$ 轴的正半轴上, $A$ 点与坐标原点重合(如图所示). 将矩形折叠, 使 $A$ 点落在线段 $DC$ 上.

(1) 若折痕所在直线的斜率为 $k$, 试写出折痕所在直线的方程;

(2) 求折痕的长的最大值.