1986年全国卷文科

1. 在下列各数中,已表示成三角形式的复数是（　　）

2. 函数 $y= 5^{-x}+1$ 的反函数是（　　）

3. 已知全集 $I = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$, $A = \{3, 4, 5\}$, $B = \{1, 3, 6\}$,那么集合 $\{2,7,8\}$ 是（　　）

4. 函数 $y= \sqrt{2}\sin 2x \cos 2x$ 是（　　）

5. 已知 $c>0$,在下列不等式中成立的一个是（　　）

6. 有以下 $20$ 个数: $87,91,94, 88, 93, 91, 89, 87, 92, 86, 90, 92, 88, 90, 91, 86, 89,92,95,88$,它们的和是（　　）

7. 已知某正方体对角线长为 $a$,那么这个正方体的全面积是（　　）

8. 如果方程 $x^{2}+ y^{2} + Dx + Ey + F = 0$ ($D^{2} + E^{2}-4F>0$)所表示的曲线关于直线 $y=x$ 对称,那么必有（　　）

9. 设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的（　　）

10. 在下列各图中, $y = ax^{2} + bx$ 与 $y = ax + b$ ($ab\ne0$)的图象只可能是（　　）

11. 求方程 $\sqrt{25^{(x^2+x-0.5)}}= \sqrt{5}$ 的解.

12. 已知 $\displaystyle w = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$,求 $w^{2}+w+1$ 的值.

13. 在 $xOy$ 平面上, $\triangle ABC$ 的三个顶点坐标依次为 $(0,0)、(1,0)、(0,3)$,将这个三角形绕 $x$ 轴旋转一周,求所得到的几何体的体积.

14. 求 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+n+7}{5n^{2} + 4}$.

15. 求 $\displaystyle (2x^{3} - \frac{1}{2x^{2}})^{5}$ 展开式中的常数项.

16. 求与椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+ \frac{y^{2}}{4}= 1$ 有公共焦点,且离心率为 $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}$ 的双曲线方程.

17. 如图, $AB$ 是圆 $O$ 的直径,$PA$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面,$C$ 是圆周上不同于 $A、B$ 的任一点,求证:平面 $PAC$ 垂直于平面 $PBC$.

18. 求满足方程 $|z+3-\sqrt{3}i|= \sqrt{3}$ 的辐角主值最小的复数 $z$.

19. 已知抛物线 $y^{2} = x+1$,定点 $A(3,1)$,$B$ 为抛物线上任意一点,点 $P$ 在线段 $AB$ 上,且有 $BP: PA = 1:2$,当点 $B$ 在抛物线上变动时,求点 $P$ 的轨迹方程,并指出这个轨迹为那种曲线.

20. 甲、乙、丙、丁四个公司承包 $8$ 项工程,甲公司承包 $3$ 项,乙公司承包 $1$ 项,丙、丁两个公司各承包 $2$ 项,问共有多少种承包方式.

21. 已知 $\sin A + \sin 3A + \sin 5A = a$, $\cos A + \cos 3A + \cos 5A = b$.求证: (1) 当 $b \ne 0$ 时, $\displaystyle \tan 3A = \frac{a}{b}$; (2) $(1+2 \cos 2A)^{2} = a^{2} + b^{2}$.

22. 已知数列 {$a_n$}, 其中 $\displaystyle a_{1} = \frac{4}{3}$, $\displaystyle a_{2} = \frac{13}{9}$ 且当 $n\ge 3$ 时, $\displaystyle a_{n}-a_{n-1}= \frac{1}{3}(a_{n-1}-a_{n-2})$.

(1) 求数列 {$a_n$} 的通项公式; (2) 求 $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}$.