2001年京蒙皖理（春）

1. 集合 $M = \{1,2,3,4,5\}$ 的子集个数是（　　）

2. 函数 $f(x) = a^{x}$ ($a > 0$ 且 $a \neq 1$) 对于任意的实数 $x, y$ 都有（　　）

3. $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\complement_{m+1}^{n+2}}{\complement_{2n}^{2n+2}}=$（　　）

4. 函数 $y = -\sqrt{1-x^{2}}$ ($x \le 1$) 的反函数是（　　）

5. 极坐标系中, 圆 $\rho = 4\cos\theta+3\sin\theta$ 的圆心的坐标是（　　）

6. 设动点 P 在直线 $x = 1$ 上, O 为坐标原点, 以 OP 为直角边、点 O 为直角顶点作等腰 Rt$\triangle OPQ$, 则动点 Q 的轨迹是（　　）

7. 已知 $f(x) = \log_{2} x$, 那么 $f(8)$ 等于（　　）

8. 若 A、B 是锐角 $\triangle ABC$ 的两个内角, 则点 P($\cos B - \sin A$, $\sin B - \cos A$) 在（　　）

9. 如果圆锥的侧面展开图是半圆, 那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是（　　）

10. 若实数 $a, b$ 满足 $a+b=2$, 则 $3^{a}+3^{b}$ 的最小值是（　　）

11. 如图是正方体的平面展开图, 在这个正方体中, ① BM 与 ED 平行; ② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60°角; ④ DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中, 正确命题的序号是

12. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的 $n$ 个月内累积的需求量 $S_{n}$ (万件) 近似地满足 $S_{n} = 90(21n-n^{2}-5)$ ($n = 1, 2, ..., 12$). 按此预测, 在本年度内, 需求量超过 $1.5$ 万件的月份是（　　）

13. 已知球內接正方体的表面积为 $S$, 那么球体积等于 $\_$.

14. 椭圆 $x^{2}+4y^{2} = 4$ 长轴上一个顶点为 A, 以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形, 该三角形的面积是 $\_$

15. 已知 $\sin^{2}\alpha + \sin^{2}\beta + \sin^{2}\gamma = 1$ ($\alpha、\beta、\gamma$ 均为锐角), 那么 $\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma$ 的最大值等于 $\_$

16. 已知 $m、n$ 是直线, $\alpha、\beta、\gamma$ 是平面, 给出下列命题:

①若 $\alpha \cap \beta = m, n \perp m$, 则 $n \perp \alpha$ 或 $n \perp \beta$;

② 若 $\alpha \parallel \beta, \alpha \cap \gamma = m, \beta \cap \gamma = n$, 则 $m \parallel n$;

③若 $m$ 不垂直于 $\alpha$, 则 $m$ 不可能垂直于 $\alpha$ 内的无数条直线;

④若 $\alpha \cap \beta = m, n \parallel m$, 且 $n \not\subset \alpha, n \not\subset \beta$, 则 $n \parallel \alpha$ 且 $n \parallel \beta$.

其中正确的命题的序号是 $\_$. (注:把你认为正确的命题的序号都填上)

17. 设函数 $\displaystyle f(x) = \frac{x+a}{x+b}+ b$ ($a > b > 0$), 求 $f(x)$ 的单调区间, 并证明 $f(x)$ 在其单调区间上的单调性.

18. 已知 $z^{7} = 1$ ($z \in C$ 且 $z \neq 1$).

(1) 证明 $1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+z^{6} = 0$;

(2) 设 $z$ 的辐角为 $\alpha$, 求 $\cos\alpha + \cos 2\alpha + \cos 4\alpha$ 的值.

19. 已知 VC是 $\triangle ABC$ 所在平面的一条斜线, 点 N 是 V 在平面 ABC 上的射影, 且在 $\triangle ABC$ 的高 CD 上. $AB = a$, VC 与 AB 之间的距离为 $h$, 点 $M \in VC$.

(1) 证明 $\angle MDC$ 是二面角 $M-AB-C$ 的平面角;

(2) 当 $\angle MDC = \angle CVN$ 时, 证明 VC $\perp$ 平面 AMB;

(3) 若 $\angle MDC = \angle CVN = \theta$ ($\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$), 求四面体 MABC 的体积.

20. 在 $1$ 与 $2$ 之间插入 $n$ 个正数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$, 使这 $n+2$ 个数成等比数列; 又在 $1$ 与 $2$ 之间插入 $n$ 个正数 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}$, 使这 $n+2$ 个数成等差数列. 记 $A_{n} = a_{1}a_{2}a_{3} \dots a_{n}$, $B_{n} = b_{1}+b_{2}+b_{3}+ \dots + b_{n}$.

(1) 求数列 $\{A_{n}\}$ 和 $\{B_{n}\}$ 的通项;

(2) 当 $n \ge 7$ 时, 比较 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ 的大小, 并证明你的结论.

21. 某摩托车生产企业, 上年度生产摩托车的投入成本为 $1$ 万元/辆, 出厂价为 $1.2$ 万元/辆, 年销售量为 $1000$ 辆. 本年度为适应市场需求, 计划提高产品档次, 适度增加投入成本, 若每辆车投入成本增加的比例为 $x$ ($0 < x < 1$), 则出厂价相应提高的比例为 $0.75x$, 同时预计年销售量增加的比例为 $0.6x$. 已知年利润 $=$ (出厂价 $-$ 投入成本) $\times$ 年销售量.

(1) 写出本年度预计的年利润 $y$ 与投入成本增加的比例 $x$ 的关系式;

(2) 为使本年度的年利润比上年有所增加, 问投入成本增加的比例 $x$ 应在什么范围内?

22. 已知抛物线 $y^{2} = 2px$ ($p>0$). 过动点 $M(a,0)$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与该抛物线交于不同的两点 A、B, $|AB| < 2p$.

(1) 求 $a$ 的取值范围;

(2) 若线段 AB 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 N, 求 $R_{t}\triangle NAB$ 面积的最大值.