2001年上海卷高考

1. 函数 $f(x) = x^{2}+1$ $(x \le 0)$ 的反函数 $f^{-1}(x) =$

2. 若复数 $z$ 满足方程 $zi=i-1$ ($i$ 是虚数单位), 则 $z =$

3. 函数 $\displaystyle y = \frac{\sin x}{1-\cos x}$ 的最小正周期为

4. 二项式 $\displaystyle (x+\frac{1}{x^{2}})^{6}$ 的展开式中常数项的值为

5. 若双曲线的一个顶点坐标为 $(3,0)$, 焦距为 $10$, 则它的标准方程为

6. 圆心在直线 $y=x$ 上且与 $x$ 轴相切于点 $(1,0)$ 的圆的方程为

7. 计算: $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}(\frac{n+3}{n})^{n-1}=$

8. 若向量 $\alpha, \beta$ 满足 $|\alpha + \beta| = |\alpha - \beta|$, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 所成角的大小为

9. 在大小相同的 $6$ 个球中, $2$ 个红球, $4$ 个是白球. 若从中任意选取 $3$ 个, 则所选的 $3$ 个球中至少有 $1$ 个红球的概率是________ (结果用分数表示)

10. 若记号 "*" 表示求两个实数 $a$ 与 $b$ 的算术平均数的运算, 即 $\displaystyle a*b = \frac{a+b}{2}$, 则两边均含有运算符号 "*" 和 "+", 且对于任意 $3$ 个实数 $a, b, c$ 都能成立的一个等式可以是

11. 关于 $x$ 的函数 $\displaystyle f(x) = \sin(x+\frac{\pi}{4})$ 有以下命题:

(1) 对任意的 $\phi, f(x)$ 都是非奇非偶函数;

(2) 不存在 $\phi$, 使 $f(x)$ 既是奇函数, 又是偶函数;

(3) 存在 $\phi$, 使 $f(x)$ 是奇函数;

(4) 对任意的 $\phi, f(x)$ 都不是偶函数.

其中一个假命题的序号是________ 因为当________时, 该命题的结论不成立.

12. 甲、乙两人于同一天分别携款 $1$ 万元到银行储蓄, 甲存五年期定期储蓄, 年利率为 $2.88\%$. 乙存一年期定期储蓄, 年利率为 $2.25\%$, 并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄, 按规定每次计息时, 储户须交纳利息的 $20\%$ 作为利息税. 若存满五年后两人同时从银行取出存款, 则甲与乙所得本息之和的差为________元.(假定利率五年内保持不变, 结果精确到 $1$ 分)

13. 若 $a, b$ 为实数, 则 $a>b>0$ 是 $a^{2}>b^{2}$ 的（　　）

14. 若直线 $x=1$ 的倾斜角为 $\alpha$, 则 $\alpha$（　　）

15. 若有平面 $\alpha$ 与 $\beta$, 且 $\alpha \cap \beta = l$, $\alpha \perp \beta$, $P \in \alpha$, $P \not\in l$, 则下列命题中的假命题为（　　）

16. 若数列 $\{a_{n}\}$ 前 $8$ 项的值各异, 且 $a_{n+8}= a_{n}$ 对任意的 $n \in \mathbb{N}$ 都成立, 则下列数列中可取遍 $\{a_{n}\}$ 前 $8$ 项值的数列为（　　）

17. 已知 $\mathbb{R}$ 为全集, $A = \{x | \log_{2}(3-x) \ge -2\}$, $\displaystyle B = \{x | \frac{x+2}{x+1}> 1\}$, 求 $A \cap B$.

18. 已知 $\displaystyle \frac{2\sin^{2}\alpha + \sin 2\alpha}{1+\tan \alpha}= k$ $\displaystyle (\frac{\pi}{4}< \alpha < \frac{\pi}{2})$, 试用 $k$ 表示 $\sin \alpha - \cos \alpha$ 的值.

19. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀, 且全面积为 $2$ 平方米的正四棱锥形有盖容器(如图), 设容器的高为 $h$ 米, 盖子边长为 $a$ 米.

(1) 求 $a$ 关于 $h$ 的函数解析式;

(2) 设容器的容积为 $V$ 立方米, 则当 $h$ 为何值时, $V$ 最大? 求出 $V$ 的最大值.

注: 求解本题时, 不计容器的厚度.

20. 已知 $i, m, n$ 是正整数, 且 $1 < i < m < n$.

(1) 证明: $\complement_{n}^{i} < \complement_{m}^{i}$;

(2) 证明: $(1+m)^{n} > (1+n)^{m}$.

21. 从社会效益和经济效益出发, 某地投入资金进行生态环境建设, 并以此发展旅游产业. 根据规划, 本年度投入 $800$ 万元, 以后每年投入将比上年减少 $\displaystyle \frac{1}{4}$. 本年度当地旅游业收入估计为 $400$ 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 $\displaystyle \frac{1}{2}$.

(1) 设 $n$ 年内 (本年度为第一年) 总投入为 $a_{n}$ 万元, 旅游业总收入为 $b_{n}$ 万元. 写出 $a_{n}, b_{n}$ 的表达式;

(2) 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

22. 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数, 其图象关于直线 $x=1$ 对称, 对任意 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in [0, \frac{1}{2})$ 都有 $f(x_{1}+x_{2}) = f(x_{1}) \cdot f(x_{2})$, 且 $f(1)=a>0$.

(1) 求 $\displaystyle f(\frac{1}{2}), f(\frac{1}{3})$;

(2) 证明设 $f(x)$ 是周期函数;

(3) 记 $\displaystyle a_{n} = f(2n+\frac{1}{2^{m}})$, 求 $\lim\limits_{n\to\infty}(\ln a_{n})$.