2001年全国卷理

1. 若 $\sin\theta\cos\theta > 0$，则 $\theta$ 在（　　）

2. 过点 $A(1,-1)$, $B(-1,1)$ 且圆心在直线 $x+y-2=0$ 上的圆的方程是（　　）

3. 设 $\{a_{n}\}$ 是递增等差数列,前三项的和为 $12$,前三项的积为 $48$,则它的首项是（　　）

4. 若定义在区间 $(-1,0)$ 内的函数 $f(x) = \log_{2a}(x+1)$ 满足 $f(x)>0$, 则 $a$ 的取值范围是（　　）

5. 极坐标方程 $\displaystyle \rho = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ 的图形是

6. 函数 $y = \cos x + 1$ $(-\pi \le x \le 0)$ 的反函数是（　　）

7. 若椭圆经过原点,且焦点为 $F_{1}(1,0)$, $F_{2}(3,0)$,则其离心率为（　　）

8. 若 $\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, $\sin\alpha + \cos\alpha = a$, $\sin\beta + \cos\beta = b$, 则（　　）

9. 在正三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中,若 $AB = \sqrt{2}BB_{1}$,则 $AB_{1}$ 与 $C_{1}B$ 所成的角的大小为（　　）

10. 设 $f(x)$, $g(x)$ 都是单调函数,有如下四个命题中,正确的命题是

①若 $f(x)$ 单调递增, $g(x)$ 单调递增,则 $f(x) - g(x)$ 单调递增;

②若 $f(x)$ 单调递增, $g(x)$ 单调递减,则 $f(x) - g(x)$ 单调递增;

③若 $f(x)$ 单调递减, $g(x)$ 单调递增,则 $f(x) - g(x)$ 单调递减;

④若 $f(x)$ 单调递减, $g(x)$ 单调递减,则 $f(x) - g(x)$ 单调递减.（　　）

11. 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜,记三种盖法屋顶面积分别为 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$.若屋顶斜面与水平面所成的角都是 $\alpha$, 则

12. 如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联,连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点 $A$ 向结点 $B$ 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为

13. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 $\sqrt{3}$,则这个圆锥的侧面积是 ______.

14. 双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{9}- \frac{y^{2}}{16}= 1$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$,点 $P$ 在双曲线上,若 $PF_{1} \perp PF_{2}$,则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 ______.

15. 设 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列,$S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和.若 $\{S_{n}\}$ 是等差数列,则 $q =$ ______.

16. 圆周上有 $2n$ 个等分点 $(n>1)$,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ______.

17. 如图,在底面是直角梯形的四棱锥 $S-ABCD$ 中, $\angle ABC = 90^{\circ}$, $SA \perp$ 底面 $ABCD$, $SA = AB = BC = 1$, $\displaystyle AD = \frac{1}{2}$.

(1) 求四棱锥 $S-ABCD$ 的体积;

(2) 求面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成的二面角的正切值.

18. 已知复数 $z_{1} = i(1 - i)^{3}$.

(1) 求 $\arg z_{1}$ 及 $|z_{1}|$;

(2) 当复数 $z$ 满足 $|z| = 1$, 求 $|z-z_{1}|$ 的最大值.

19. 设抛物线 $y^{2} = 2px$ $(p>0)$ 的焦点为 $F$,经过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点.点 $C$ 在抛物线的准线上,且 $BC \parallel x$ 轴.证明直线 $AC$ 经过原点 $O$.

20. 已知 $i, m, n$ 是正整数,且 $1 < i < m < n$.

(1) 证明: $n^{i} m^{n} < m^{i} n^{m}$;

(2) 证明: $(1+m)^{n} > (1 + n)^{m}$.

21. 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入 $800$ 万元,以后每年投入将比上年减少 $\displaystyle \frac{1}{4}$.本年度当地旅游业收入估计为 $400$ 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 $\displaystyle \frac{1}{2}$.

(1) 设 $n$ 年内 (本年度为第一年) 总投入为 $a_{n}$ 万元,旅游业总收入为 $b_{n}$ 万元.写出 $a_{n}, b_{n}$ 的表达式;

(2) 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

22. 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数,其图象关于直线 $x=1$ 对称,对任意 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in [0, \frac{1}{2}]$ 都有 $f(x_{1}+x_{2}) = f(x_{1}) \cdot f(x_{2})$, 且 $f(1) = a > 0$.

(1) 求 $f(0)$, $\displaystyle f(\frac{1}{2})$;

(2) 证明设 $f(x)$ 是周期函数;

(3) 记 $\displaystyle a_{n} = f(2n + \frac{1}{2})$, 求 $\lim\limits_{n\to\infty}(\ln a_{n})$.