1992年全国卷理

1. $\displaystyle \frac{\log_{8} 9}{\log_{2} 3}$ 的值是（　　）

2. 如果函数 $y = \sin(\omega x) \cos(\omega x)$ 的最小正周期是 $4\pi$, 那么常数 $\omega$ 为（　　）

3. 极坐标方程分别是 $\rho = \cos\theta$ 和 $\rho = \sin\theta$ 的两个圆的圆心距是（　　）

4. 方程 $\sin 4x \cos 5x = \cos 4x \sin 5x$ 的一个解是（　　）

5. 已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等, 则圆柱的全面积与球的表面积的比是（　　）

6. 如图, 图中曲线是幂函数 $y=x^{n}$ 在第一象限的图象. 已知 $n$ 取 $\displaystyle \pm\frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$ 四个值, 则相应于曲线 $C_{1}、C_{2}、C_{3}、C_{4}$ 的 $n$ 依次为 ()

📐 待生成图：幂函数y=x^n在第一象限的图像

（　　）

7. 若 $\log_{a} 2 < \log_{b} 2 < 0$, 则（　　）

8. 直线 $\begin{cases}x = t\sin 20^{\circ}+3, \\ y = -t\cos 20^{\circ},\end{cases}$ ($t$ 为参数) 的倾斜角是（　　）

9. 在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多可有（　　）

10. 圆心在抛物线 $y^{2} = 2x$ 上, 且与 $x$ 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（　　）

11. 在 $(x^{2}+3x+2)^{5}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数为（　　）

12. 若 $0<a<1$, 在 $[0,2\pi]$ 上满足 $\sin x \ge a$ 的 $x$ 的范围是（　　）

13. 已知直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 夹角的平分线为 $y = x$, 如果 $l_{1}$ 的方程是 $ax + by + c = 0$ ($ab > 0$), 那么 $l_{2}$ 的方程是（　　）

14. 如图,在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $M$ 和 $N$ 分别为 $A_{1}B_{1}$ 和 $BB_{1}$ 的中点, 那么直线 $AM$ 与 $CN$ 所成角的余弦值是 ( )

📐 待生成图：正方体ABCD-A1B1C1D1, M为A1B1中点,N为BB1中点

（　　）

15. 已知复数 $z$ 的模为 $2$, 则 $|z - i|$ 的最大值为（　　）

16. 函数 $\displaystyle y = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ 的反函数（　　）

17. 如果函数 $f(x) = x^{2}+bx+c$ 对任意实数 $t$ 都有 $f(2+t) = f(2-t)$, 那么（　　）

18. 长方体的全面积为 $11$, $12$ 条棱长度之和为 $24$, 则这个长方体的一条对角线长为（　　）

19. 方程 $\displaystyle \frac{1}{1+3^{-x}}- \frac{1}{1+3^{x}}= 3$ 的解是.

20. $\sin 15^{\circ}\sin 75^{\circ}$ 的值是

21. 设含有 $10$ 个元素的集合的全部子集数为 $S$, 其中由 $3$ 个元素组成的子集数为 $T$, 则 $\displaystyle \frac{T}{S}$ 的值是

22. 焦点为 $F_{1}(-2,0)$ 和 $F_{2}(6,0)$, 离心率为 $2$ 的双曲线的方程是

23. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d \neq 0$, 且 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列, 则 $\displaystyle \frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{a_{2}+a_{4}+a_{10}}$ 的值是_________.

24. 已知 $z \in C$, 解方程: $z\bar{z}- 3iz = 1 + 3i$.

25. 已知 $\displaystyle \frac{3\pi}{4}< \alpha < \beta < \pi$, $\displaystyle \cos(\alpha - \beta) = \frac{12}{13}$, $\displaystyle \sin(\alpha + \beta) = -\frac{3}{5}$. 求 $\sin 2\alpha$ 的值.

26. 已知: 两条异面直线 $a、b$ 所成的角为 $\theta$, 它们的公垂线段 $AA_{1}$ 的长度为 $d$. 在直线 $a、b$ 上分别取点 $E、F$, 设 $A_{1}E = m, AF = n$. 求证: $EF = \sqrt{d^{2} + m^{2} + n^{2} \pm 2mn \cos \theta}$.

27. 设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 已知 $a_{3} = 12$, $S_{12}> 0$, $S_{13}< 0$.

(1) 求公差 $d$ 的取值范围;

(2) 指出 $S_{1}, S_{2},..., S_{12}$ 中哪一个值最大, 并说明理由.

28. 已知椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}= 1$ ($a > b > 0$), $A、B$ 是椭圆上的两点, 线段 $AB$ 的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P(x_{0},0)$. 证明: $\displaystyle -\frac{a^{2}-b^{2}}{a}< x_{0} < \frac{a^{2}-b^{2}}{a}$