2003年上海卷

1. 已知函数 $f(x) = \sqrt{x}+1$，则 $f^{-1}(3) =$ $\underline{\qquad}$.

2. 直线 $y=1$ 与直线 $y=\sqrt{3}x+3$ 的夹角为 $\underline{\qquad}$.

3. 已知点 $P(\tan\alpha, \cos\alpha)$ 在第三象限, 则 $\alpha$ 的终边在第 $\underline{\qquad}$ 象限.

4. 直线 $y=x-1$ 被抛物线 $y^{2}=4x$ 截得线段的中点坐标是 $\underline{\qquad}$.

5. 已知集合 $A = \{x \mid |x| \le 2, x \in \mathbf{R}\}$，$B = \{x \mid x \ge a\}$，且 $A \subseteq B$，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{\qquad}$.

6. 已知 $z$ 为复数,则 $z + \dfrac{1}{z}> 2$ 的一个充要条件是 $z$ 满足 $\underline{\qquad}$.

7. 若过两点 $A(-1,0)$、$B(0,2)$ 的直线与圆 $(x-1)^{2} + (y-a)^{2} = 1$ 相切, 则 $a =$ $\underline{\qquad}$.

8. 不等式 $(\lg 20)^{2} \cos x > 1 \quad (x \in (0, \pi))$ 的解为 $\underline{\qquad}$.

9. $8$ 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组, 每组各 $4$ 人, 分别进行单循环赛, 每组决出前 $2$ 名, 再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛, 获胜者角逐冠、亚军, 败者角逐第三、四名, 则该大师赛共有 $\underline{\qquad}$ 场比赛.

10. 若正三棱锥底面边长为 $4$, 体积为 $1$, 则侧面和底面所成二面角的大小等于 $\underline{\qquad} ($结果用反三角函数值表示)

11. 若函数 $y = x^{2} + (a+2)x + 3$, $x \in [a,b]$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称, 则 $b=$ $\underline{\qquad}$.

12. 设 $f(x) = \dfrac{1}{x+6}$, 利用课本中推导等差数列前 $n$ 项和的公式的方法, 可求得 $f(-5)+f(-4)+\cdots+f(0)+\cdots+f(5)+f(6)$ 的值为 $\underline{\qquad}$.

13. 关于直线 $a$、$b$、$l$ 以及平面 $M$、$N$，下列命题中正确的是 ().（　　）

14. 复数 $z = \dfrac{m-2i}{1+2i}\quad (m \in \mathbf{R}$, $i$ 为虚数单位) 在复平面上对应的点不可能位于 ().（　　）

15. 把曲线 $y \cos x + 2y - 1 = 0$ 先沿 $x$ 轴向右平移 $1$ 个单位, 再沿 $y$ 轴向下平移 $1$ 个单位, 得到的曲线方程是 ().（　　）

16. 关于函数 $f(x) = (\sin x)^{2} - \dfrac{|x|}{x}+ \dfrac{1}{2}$, 有下面四个结论:

① $f(x)$ 是奇函数;

② 当 $x > 2003$ 时, $f(x) \ge -\dfrac{1}{2}$ 恒成立;

③ $f(x)$ 的最大值是 $\dfrac{3}{2}$;

④ $f(x)$ 的最小值是 $-\dfrac{1}{2}$.

其中正确结论的个数为 ().（　　）

17. 解不等式组: $\begin{cases}x^{2}-6x+8 \ge 0 \\ \dfrac{x+3}{x-1}> 2\end{cases}$

18. 已知函数 $f(x) = A\sin(\omega x + \phi)$, $(A > 0, \omega > 0, x \in \mathbf{R})$ 在一个周期内的图象如图所示, 求直线 $y=\sqrt{3}$ 与函数 $f(x)$ 图象的所有交点的坐标.

19. 已知三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$, 在某个空间直角坐标系中, $\overrightarrow{AB}= (\dfrac{\sqrt{3}}{2}m, \dfrac{m}{2}, 0)$, $\overrightarrow{AC}= (m,0,0)$, $\vec{AA_1}= (0,0,n)$, 其中 $m$、$n > 0$.

(1) 证明:三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 是正三棱柱;

(2) 若 $m=\sqrt{2}n$, 求直线 $CA_{1}$ 与平面 $A_{1}ABB_{1}$ 所成角的大小.

20. 已知函数 $f(x) = \dfrac{x-x^{-1}}{x+x^{-1}}$, $g(x) = x^{5}$.

(1) 证明 $f(x)$ 是奇函数, 并求 $f(x)$ 的单调区间;

(2) 分别计算 $f(4)-5f(2)g(2)$ 和 $f(9)-5f(3)g(3)$ 的值, 由此概括出涉及函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的对所有不等于零的实数 $x$ 都成立的一个等式, 并加以证明.

21. 设 $F_{1}$、$F_{2}$ 分别为椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}= 1 \quad (a>0, b>0)$ 的左、右两个焦点.

(1) 若椭圆 $C$ 上的点 $A(1, \dfrac{2\sqrt{2}}{3})$ 到 $F_{1}$、$F_{2}$ 两点的距离之和等于 $4$, 写出椭圆 $C$ 的方程;

(2) 设 $K$ 是 (1) 中所得椭圆上的动点, 求线段 $F_{1}K$ 的中点的轨迹方程;

(3) 已知椭圆具有性质: 若 $M$、$N$ 是椭圆 $C$ 上关于原点对称的两个点, 点 $P$ 是椭圆上任意一点, 当直线 $PM$、$PN$ 的斜率都存在, 并记为 $k_{PM}$、$k_{PN}$ 时, 那么 $k_{PM}$ 与 $k_{PN}$ 之积是与点 $P$ 位置无关的定值. 试对双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1$ 写出具有类似特性的性质, 并加以证明.

22. 在一次人才招聘会上, 有 $A$、$B$ 两家公司分别开出了它们的工资标准: $A$ 公司允诺第一个月工资为 $1500$ 元, 以后每年月工资比上一年月工资增加 $230$ 元; $B$ 公司允诺第一年月工资数为 $2000$ 元, 以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 $5\%$. 设某人年初被 $A$、$B$ 两家公司同时录取. 试问:

(1) 若该人分别在 $A$ 公司或 $B$ 公司连续工作 $n$ 年, 则他在第 $n$ 年的月工资收入分别是多少?

(2) 该人打算连续在一家公司工作 $10$ 年, 仅从工资收入总量较多作为应聘的标准 (不记其它因素), 该人应该选择哪家公司, 为什么?

(3) 在 $A$ 公司工作比在 $B$ 公司工作的月工资收入最多可以多多少元? (精确到 $1$ 元), 并说明理由.