2002年苏豫粤卷

1. 函数 $f(x) = \dfrac{\sin 2x}{\cos x}$ 的最小正周期是（　　）

2. 圆 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ 的圆心到直线 $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x$ 的距离是（　　）

3. 不等式 $(1+x)(1-x)>0$ 的解集是（　　）

4. 在 $(0, 2\pi)$ 内, 使 $\sin x > \cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是（　　）

5. 设集合 $M = \{x | x = \dfrac{\pi}{2}+ \dfrac{k}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}\}$, $N = \{x | x = \dfrac{\pi}{4}+ \dfrac{k}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}\}$, 则（　　）

6. 一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（　　）

7. 函数 $f(x) = x^{3}+ax+b$ 是奇函数的充要条件是（　　）

8. 已知 $0 < x < y < a < 1$, 则有（　　）

9. 函数 $y = 1 - \dfrac{1}{x-1}$（　　）

10. 极坐标方程 $\rho = \cos\theta$ 与 $\rho\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ 的图形是（　　）

11. 从正方体的 $6$ 个面中选取 $3$ 个面,其中有 $2$ 个面不相邻的选法共有（　　）

12. 据 $2002$ 年 $3$ 月 $5$ 日九届人大五次会议《政府工作报告》:“$2001$ 年国内生产总值达到 $95933$ 亿元,比上年增长 $7.3\%$”,如果“十·五”期间 ($2001$ 年—$2005$ 年) 每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（　　）

13. 椭圆 $5x^{2}+ky^{2}=5$ 的一个焦点是 $(0,2)$,那么 $k=$ $\underline{\qquad}$.

14. $(x^{2}+1)(x-2)^{n}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数是 $\underline{\qquad}$.

15. 已知 $\sin\alpha = \cos 2\alpha$, $\alpha \in (\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2})$, 则 $\tan\alpha =$ $\underline{\qquad}$.

16. 已知 $f(x) = \dfrac{x^2}{1+x^2}$,那么 $f(1)+f(2)+f(\dfrac{1}{2})+f(3)+f(\dfrac{1}{3})+f(4)+f(\dfrac{1}{4})=$ $\underline{\qquad}$.

17. 已知复数 $z = 1+i$, 求实数 $a, b$ 使 $az+2bz = (a+2z)^{2}$.

18. 设 $\{a_{n}\}$ 为等差数列, $\{b_{n}\}$ 为等比数列, $a_{1} = b_{1} = 1$, $a_{2}+a_{4} = b_{3}$, $b_{2}b_{4} = a_{3}$, 分别求出 $\{a_{n}\}$ 及 $\{b_{n}\}$ 的前 $10$ 项的和 $S_{10}$ 及 $T_{10}$.

19. 四棱锥 $P$-$ABCD$ 的底面是边长为 $a$ 的正方形, $PB \perp$ 平面 $ABCD$.

(1) 若面 $PAD$ 与面 $ABCD$ 所成的二面角为 $60^{\circ}$,求这个四棱锥的体积;

(2) 证明无论四棱锥的高怎样变化,面 $PAD$ 与面 $PCD$ 所成的二面角恒大于 $90^{\circ}$.

20. 设 $A, B$ 是双曲线 $x^{2} - \dfrac{y^2}{2}= 1$ 上的两点, 点 $N(1,2)$ 是线段 $AB$ 的中点.

(1) 求直线 $AB$ 的方程;

(2) 如果线段 $AB$ 的垂直平分线与双曲线相交于 $C, D$ 两点, 那么 $A, B, C, D$ 四点是否共圆? 为什么?

21. (1) 给出两块相同的正三角形纸片 (如图 $1$, 图 $2$), 要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型, 另一块剪拼成一个正三棱柱模型, 使它们的全面积都与原三角形的面积相等, 请设计一种剪拼方法, 分别用虚线标示在图 $1$、图 $2$ 中, 并作简要说明;

(2) 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;

(3) 如果给出的是一块任意三角形的纸片 (如图 $3$), 要求剪拼成一个直三棱柱, 使它的全面积与给出的三角形的面积相等, 请设计一种剪拼方法, 用虚线标示在图 $3$ 中, 并作简要说明.

22. 已知 $a > 0$, 函数 $f(x) = ax - bx^{2}$.

(1) 当 $b>0$ 时, 若对任意 $x \in \mathbb{R}$ 都有 $f(x) \le 1$, 证明: $a \le 2\sqrt{b}$;

(2) 当 $b>1$ 时, 证明: 对任意 $x \in [0,1]$, $|f(x)| \le 1$ 的充要条件是 $b-1 \le a \le 2\sqrt{b}$;

(3) 当 $0<b \le 1$ 时, 讨论: 对任意 $x \in [0,1]$, $|f(x)| \le 1$ 的充要条件.