1978年备用卷

1.

(1) 分解因式:$x^{2}-2xy+y^{2} + 2x - 2y - 3$.

2.

(2) 求 $\displaystyle \sin 30° \tan 0° + \cot \frac{25\pi}{4}\cos^{2} \frac{\pi}{6}$.

3. (3) 求函数$\displaystyle y=\frac{\lg(25-5^{x})}{x+1}$的定义域.

4.

(4) 已知直圆锥体的底面半径等于1cm,母线的长等于2cm,求它的体积.

5.

(5) 计算:$\displaystyle 10(2+\sqrt{5})^{-1}- (\frac{1}{500})^{-\frac{1}{3}}+ 30(\frac{125}{9})^{\frac{1}{2}}$的值.

6. 2.已知两数$x_{1},x_{2}$满足下列条件:

(1) 它们的和是等差数列$1,3,\ldots$的第20项;

(2) 它们的积是等比数列 $2, -6, \ldots$ 的前4项和,求根为一,一的方程.

7. 3. 已知:$\triangle ABC$ 的外接圆的切线 AD交BC的延长线于D点,求证: $\displaystyle \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ACD}}= \frac{AB^{2}}{AC^{2}}= \frac{BD}{CD}$

8. 4. 如图,CD是BC的延长线,AB = BC = CA = CD = a, DM与AВ,AC 分别交于M点和N点,且$\angle BDM = \alpha$.求证: $\displaystyle BM = \frac{4a \tan \alpha}{\sqrt{3} + \tan \alpha}$, $\displaystyle CN = \frac{4a \tan \alpha}{\sqrt{3}-\tan \alpha}$

\begin{figure}[H] $\centering$ $\includegraphics{images/1978_national_backup_1.png}$ \end{figure}

9. 5. 设 $f(x) = 4x^{4}-4px^{3}+4qx^{2}+2p(m + 1)x + (m + 1)^{2}$ ($p \neq 0$). 求证:

(1) 如果$f(x)$的系数满足$p^{2}-4q-4(m + 1) = 0$,那么$f(x)$ 恰好是一个二次三项式的平方;

(2) 如果$f(x)$与$F(x) = (2x^{2} + ax + b)^{2}$ 表示同一个多项式,那么$p^{2}-4q-4(m + 1) = 0$.

10. 6.已知:$a \sin x + b \cos x = 0$, $A \sin 2x + B \cos^{2} x = C$,其中$a, b$不同时为0,求证:$2abA+ (b^{2} - a^{2}) B+ (a^{2} + b^{2})C = 0$.

11. 7.已知P$\displaystyle (\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$为过点 P倾斜角为30°的直线,圆C为中心在坐标原点而半径等于1的圆,Q 表示顶点在原点而焦点在$\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{8}, 0)$的抛物线设为L和C在第三象限的交点,B为C和Q在第四象限的交点.

(1) 写出直线L、圆C和抛物线Q的方程,并作草图;

(2) 写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式;

(3) 设P'、B'依次为从P、B到x轴的垂足,求由圆弧AB和直线段BB′、B'P'、P'P、PA所包含的面积.