1997年全国卷理科

1. 设集合 $M = \{x \mid 0 < x < 2\}$,集合 $N = \{x \mid x^{2}-2x-3 < 0\}$,集合 $M \cap N =$（　　）

2. 如果直线 $ax+2y+2=0$ 与直线 $3x-y-2=0$ 平行,那么系数 $a=$（　　）

3. 函数 $\displaystyle y = \tan\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{3}\right)$ 在一个周期内的图象是

📐 待生成图：函数y=tan(1/2 x - pi/3)在一个周期内的图象

（　　）

4. 已知三棱锥 $D-ABC$ 的三个侧面与底面全等,且 $AB = AC = \sqrt{3}$, $BC = 2$,则以 $BC$ 为棱,以面 $BCD$ 与面 $BCA$ 为面的二面角的大小是（　　）

5. 函数 $\displaystyle y = \sin^{2}\left(x-\frac{2\pi}{3}\right) + \cos^{2} x$ 的最小正周期是（　　）

6. 满足 $\arccos(1-x) \ge \arccos x$ 的 $x$ 的取值范围是（　　）

7. 将 $y = 2^{x}$ 的图象,再作关于直线 $y=x$ 对称的图象,可得到函数 $y = \log_{2}(x+1)$ 的图象.（　　）

(A) 先向左平行移动 $1$ 个单位

(B) 先向右平行移动 $1$ 个单位

(C) 先向上平行移动 $1$ 个单位

(D) 先向下平行移动 $1$ 个单位

8. 长方体一个顶点上三条棱的长分别是 $3,4,5$,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是（　　）

9. 曲线的参数方程是 $\displaystyle \begin{cases}x=1-\frac{1}{t}\\ y=1-t^{2}\end{cases}$ ($t$ 是参数, $t \ne 0$),它的普通方程是（　　）

10. 函数 $y = \cos^{2} x - 3\cos x + 2$ 的最小值为（　　）

11. 椭圆 $C$ 与椭圆 $\displaystyle \frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{4}=1$ 关于直线 $x+y=0$ 对称,椭圆 $C$ 的方程是（　　）

12. 圆台上、下底面积分别为 $\pi, 4\pi$, 侧面积为 $6\pi$, 这个圆台的体积是（　　）

13. 定义在区间 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数 $f(x)$ 为增函数,偶函数 $g(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 的图象与 $f(x)$ 的图象重合,设 $a>b>0$,给出下列不等式:

① $f(b)-f(-a)>g（　　）

14. 不等式组 $\displaystyle \begin{cases}x > 0 \\ \frac{3-x}{3+x} > \left|\frac{2-x}{2+x}\right|\end{cases}$ 的解集是（　　）

15. 四面体的顶点和各棱中点共 $10$ 个点,在其中取 $4$ 个不共面的点,不同的取法共有（　　）

16. 已知 $\displaystyle \left(x-\frac{2}{x^{2}}\right)^{9}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $\displaystyle \frac{9}{2}$,常数 $a$ 的值为______.

17. 已知直线的极坐标方程为 $\displaystyle \rho\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$,则极点到该直线的距离是______.

18. $\frac{\sin 7^{\circ} + \cos 15^{\circ} \sin 8^{\circ}}{\cos 7^{\circ} \sin 15^{\circ} \sin 8^{\circ}}$ 的值为______.

19. 已知 $m, l$ 是直线, $\alpha, \beta$ 是平面,给出下列命题:

① 若 $l$ 垂直于 $\alpha$ 内的两条相交直线,则 $l \perp \alpha$;

② 若 $l$ 平行于 $\alpha$,则 $l$ 平行于 $\alpha$ 内的所有直线;

③ 若 $m \subset \alpha, l \subset \beta$, 且 $l \parallel m$, 则 $\alpha \perp \beta$;

④ 若 $l \subset \beta$, 且 $l \parallel \alpha$, 则 $\alpha \parallel \beta$.

其中正确的命题的序号是______.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)

📐 待生成图：正方体ABCD-A1B1C1D1

20. 已知复数 $\displaystyle z = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. 复数 $w, z^{2}w^{3}$ 在复数平面上所对应的点分别为 $P, Q$. 证明 $\triangle OPQ$ 是等腰直角三角形 (其中 $O$ 为原点).

21. 已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 都是由正数组成的等比数列,公比分别为 $p, q$,其中 $p>q$, 且 $p \ne 1, q \ne 1$.设 $C_{n} = a_{n}+b_{n}$, $S_{n}$ 为数列 $\{C_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.求 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{S_{n}}{S_{n-1}}$.

22. 甲、乙两地相距 $S$ 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 $V$ 千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 $v$ (千米/时)的平方成正比,比例系数为 $k$;固定部分为 $a$ 元.

(1) 把全程运输成本 $y$ (元) 表示为速度 $v$ (千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;

(2) 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

23. 如图,在正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $E,F$ 分别是 $BB_{1}, CD$ 的中点.

(1) 证明:$AD \perp D_{1}F$;

(2) 求 $AE$ 与 $D_{1}F$ 所成的角;

(3) 证明:面 $AED \perp$ 面 $A_{1}FD_{1}$;

(4) 设 $AA_{1} = 2$,求三棱锥 $F-A_{1}ED_{1}$ 的体积.

📐 待生成图：正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为BB1,CD的中点

24. 设二次函数 $f(x)=ax^{2}+bx+c(a>0)$,方程 $f(x)-x=0$ 的两个根 $x_{1},x_{2}$ 满足 $\displaystyle 0<x_{1}<x_{2}<\frac{1}{a}$.

(1) 当 $x \in (0,x_{1})$ 时,证明 $x < f(x) < x_{1}$;

(2) 设函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=x_{0}$ 对称,证明 $\displaystyle x_{0} < \frac{x_{1}+x_{2}}{2}$.

25. 设圆满足:①截 $y$ 轴所得弦长为 $2$;②被 $x$ 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 $3:1$,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线 $l:x-2y=0$ 的距离最小的圆的方程.