1979年全国卷文

1. 求函数 $y = 2x^{2}-x+1$的极小值.

2. 化简:$[(1+\sin^{2}\theta)^{2} - \cos^{4}\theta] [(1 + \cos^{2}\theta)^{2} – \sin^{4}\theta]$.

3. 甲,乙二容器内都盛有酒精,甲有$V_{1}$公斤,乙有$V_{2}$公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为$m_{1}:n_{1}$,乙中纯酒精与水之比为$m_{2}:n_{2}$.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?

4. 叙述并证明勾股定理.

5. 外国船只除特许外不得进入离我海岸线D里以内的区域.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S里,海岸线是过A,B的直线,一外国船在P点,在A站测得$\angle BAP = \alpha$, 同时在B站测得$\angle BAP = \beta$.问$\alpha$及$\beta$满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海域?

6. 美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500,如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几? (注意:$x<0.1$,可用: $\ln(1+x) \approx x$, 取$\lg 2=0.3$, $\ln 10 = 2.3$)

7. 设CEDF是一个已知圆的内接矩形,过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B.求证: $\displaystyle \frac{BF}{AE}= \frac{BC^{3}}{AC^{3}}$.

\begin{figure}[H] $\centering$ $\includegraphics{images/1979_national_liberal_1.png}$ \end{figure}

8. 过原点作圆$x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0$的任意割线交圆于$P_{1}, P_{2}$ 两点,求$P_{1}P_{2}$的中点P的轨迹.