1985年全国卷理科

1. 如果正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱长为 $a$,那么四面体 $A'-ABD$ 的体积是（　　）

2. $\tan x = 1$ 是 $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ 的（　　）

3. 在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间 $(0, \pi)$ 上的增函数又是以 $\pi$ 为周期的偶函数（　　）

4. 极坐标方程 $\rho = a\sin \theta$ ($a>0$) 的图象是（　　）

5. 用 $1,2,3,4,5$ 这五个数字,可以组成比 $20000$ 大,并且百位数不是数字 $3$ 的没有重复数字的五位数,共有（　　）

6. 求方程 $\displaystyle 2\sin(x+\frac{\pi}{3}) = 1$ 解集.

7. 设 $|a| \le 1$, 求 $\arccos a + \arccos(-a)$ 的值.

8. 求曲线 $y^{2} =-16x+64$ 的焦点.

9. 设 $(3x - 1)^{6} = a_{6}x^{6} + a_{5}x^{5} + a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}$,求 $a_{6} + a_{5} + a_{4} + a_{3} + a_{2} + a_{1}+a_{0}$ 的值.

10. 设函数 $f(x)$ 的定义域是 $[0,1]$, 求函数 $f(x^{2})$ 的定义域.

11. 解方程: $\log_{4} (3 - x) + \log_{0.25}(3+x) = \log_{4} (1-x) + \log_{0.25}(2x+1)$.

12. 解不等式: $\sqrt{2x+5}> x + 1$.

13. 如图,设平面 $AC$ 和 $BD$ 相交于 $BC$,它们所成的一个二面角为 $60°$, $P$ 为平面 $AC$ 内的一点, $Q$ 为面 $BD$ 内的一点,已知直线 $MQ$ 是直线 $PQ$ 在平面 $BD$ 内的射影,并且 $M$ 在 $BC$ 上,又设 $PQ$ 与平面 $BD$ 所成的角为 $\beta, \angle CMQ = \theta$ ($0° < \theta < 90°$),线段 $PM$ 的长为 $a$,求线段 $PQ$ 的长.

14. 设 $O$ 为复平面的原点, $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 为复平面内的两动点,并且满足: (1) $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 所对应的复数的辐角分别为定值 $\theta$ 和 $-\theta$ ($\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$); (2) $\triangle OZ_{1}Z_{2}$ 的面积为定值 $S$.求 $\triangle OZ_{1}Z_{2}$ 的重心 $Z$ 所对应的复数的模的最小值.

15. 已知两点 $P(-2,2)$, $Q(0,2)$ 以及一条直线: $L: y = x$,设长为 $\sqrt{2}$ 的线段 $AB$ 在直线 $L$ 上移动,如图,求直线 $PA$ 和 $QB$ 的交点 $M$ 的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程)

16. 设 $a_{n} = \sqrt{1\cdot 2}+ \sqrt{2\cdot 3}+ \ldots + \sqrt{n(n+1)}$ ($n = 1,2\ldots$).

(1) 证明:不等式 $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}< a_{n} < \frac{(n+1)^{2}}{2}$ 对所有的正整数 $n$ 都成立;

(2) 设 $\displaystyle b_{n} = \frac{a_{n}}{n(n+1)}$ ($n = 1,2\ldots$), 用定义证明: $\displaystyle \lim\limits b_{n} = \frac{1}{2}$.

17. 设 $a, b$ 是两个实数, $A = \{(x,y) | x = n, y = na + b, n\text{是整数}\}$, $B = \{(x,y) | x = m, y = 3m^{2} + 15, m\text{是整数}\}$, $C = \{(x,y) | x^{2} + y^{2} < 144\}$ 是平面 $xOy$ 内的点集合,讨论是否存在 $a$ 和 $b$ 使得 (1) $A \cap B \ne \emptyset$ ($\emptyset$ 表示空集), (2) $(a, b) \in C$ 同时成立.

18. 已知曲线 $y= x^{3}-6x^{2} + 11x-6$.在它对应于 $x\in [0,2]$ 的弧段上求一点 $P$,使得曲线在该点的切线在 $y$ 轴上的截距为最小,并求出这个最小值.