2000年新课程卷理

1. 设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集 $\{(x,y) | x \in R, y \in R\}$, 映射 $f: A \to B$ 把集合 A 中的元素 $(x,y)$ 映射成集合 B 中的元素 $(x+y, x-y)$, 则在映射 $f$ 下, 象 $(2,1)$ 的原象是（　　）

2. 在复平面内, 把复数 $3 - \sqrt{3}i$ 对应的向量按顺时钟方向旋转 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$, 所得向量对应的复数是（　　）

3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$, 这个长方体对角线的长是（　　）

4. 设 $\mathbf{a}、\mathbf{b}、\mathbf{c}$ 是任意的非零平面向量, 且相互不共线, 则

①$(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}- (\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}) \mathbf{b}= \mathbf{0}$;

② $|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}| < |\mathbf{a}| |\mathbf{b}|$;

③ $(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}) \mathbf{a}- (\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}) \mathbf{b}$ 不与 $\mathbf{c}$ 垂直;

④ $(3\mathbf{a}+ 2\mathbf{b}) \cdot (3\mathbf{a}-2\mathbf{b}) = 9|\mathbf{a}|^{2} - 4|\mathbf{b}|^{2}$ 中, 是真命题的有（　　）

5. 函数 $y = -x\cos x$ 的部分图象是（　　）

6. 《中华人民共和国个人所得税法》规定, 公民全月工资、薪金所得不超过 $800$ 元的部分不必纳税, 超过 $800$ 元的部分为全月应纳税所得额, 此项税款按下表分段累进计算:

某人一月份交纳此项税款 $26.78$ 元, 则他的当月工资、薪金所得介于（　　）

7. 若 $a > b > 1$, $P = \sqrt{\lg a \cdot \lg b}$, $\displaystyle Q = \frac{\lg a + \lg b}{2}$, $\displaystyle R = \lg (\frac{a+b}{2})$, 则（　　）

8. 图中阴影部分的面积是

9. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形, 这个圆柱的全面积与侧面积的比是（　　）

10. 过原点的直线与圆 $x^{2}+y^{2}+4x+3=0$ 相切, 若切点在第三象限, 则该直线的方程是（　　）

11. 过抛物线 $y = ax^{2}$ ($a>0$) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q, 则 $\displaystyle \frac{1}{p}+ \frac{1}{q}$ 等于（　　）

12. 如图, OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线, OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分, 则母线与轴的夹角为（　　）

13. 某厂生产电子元件, 其产品的次品率为 5%, 现从一批产品中任意地连续取出 $2$ 件, 其中次品的概率分布是:

14. 椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+ y^{2} = 1$ 的焦点 $F_{1}、F_{2}$, 点 P 为其上的动点, 当 $\angle F_{1}PF_{2}$ 为钝角时, 点 P 横坐标的取值范围是 $\_$

15. 设 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列, 且 $(n+1)a_{n+1}^{2} - na_{n}^{2} + a_{n+1}a_{n} = 0$ ($n = 1, 2, 3, ...$), 则它的通项公式是 $a_{n} = \_$

16. 如图, E、F 分别为正方体面 $ADD_{1}A_{1}$、面 $BCC_{1}B_{1}$ 的中心, 则四边形 $BFD_{1}E$ 在该正方体的面上的射影可能是 $\_$. (要求: 把可能的图序号都填上)

17. 甲、乙二人参加普法知识竞答, 共有 10 个不同的题目, 其中选择题 6 个, 判断题 4 个甲、乙二人依次各抽一题.

(1) 甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?

(2) 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

18. 【甲】如图, 直三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$, 底面 $\triangle ABC$ 中, $CA = CB = 1$, $\angle BCA = 90^{\circ}$, 棱 $AA_{1} = 2$, M、N 分别是 $A_{1}B_{1}、A_{1}A$ 的中点.

(1) 求 $BN$ 的长;

(2) 求 $\cos(BA_{1}, CB_{1})$ 的值;

(3) 求证 $A_{1}B \perp C_{1}M$.

19. 设 $\{a_{n}\}$ 为等差数列, $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $S_{7} = 7, S_{15}= 75$, $T_{n}$ 为数列 $\displaystyle \{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前 $n$ 项和, 求 $T_{n}$.

20. 设函数 $f(x) = \sqrt{x^{2}+1}-ax$, 其中 $a > 0$.

(1) 解不等式 $f(x) \le 1$;

(2) 证明: 当 $a \ge 1$ 时, 函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上是单调函数.

21. 用总长 $14.8$ m 的钢条制成一个长方体容器的框架, 如果所制做容器的底面的一边比另一边长 $0.5$ m, 那么高为多少时容器的容积最大? 并求出它的最大容积.

22. 如图, 已知梯形 ABCD 中 $|AB| = 2|CD|$, 点 E 分有向线段 $\overrightarrow{AC}$ 所成的比为 $\lambda$, 双曲线过 C、D、E 三点, 且以 A、B 为焦点, 当 $\displaystyle \frac{2}{3}\le \lambda \le \frac{3}{4}$ 时, 求双曲线离心率 $e$ 的取值范围.