1983年全国卷理科

1. 两条异面直线,指的是（　　）

2. 方程 $x^{2}-y^{2}=0$ 表示的图形是（　　）

3. 三个数 $a, b, c$ 不全为零的充要条件是（　　）

4. 设 $\displaystyle \alpha = \frac{4\pi}{3}$, 则 $\arccos(\cos \alpha)$ 的值是（　　）

5. $0.3^{2}, \log_{2} 0.3, 2^{0.3}$ 这三个数之间的大小顺序是（　　）

6.

(1) 在同一平面直角坐标系内,分别画出两个方程 $y=\sqrt{x}, x=\sqrt{y}$ 的图形,并写出它们交点的坐标.

(2) 在极坐标系内,方程 $\rho = 5\cos \theta$ 表示什么曲线?画出它的图形.

7.

(1) 已知 $y = e^{\sin 2x}$, 求微分 $dy$.

8. 计算行列式(要求结果最简): $\begin{vmatrix}\sin \alpha & \cos(\alpha + \varphi) & \cos \alpha \\ \cos \beta & \sin(\beta - \varphi) & \sin \beta \\ \sin \gamma & \cos 2\gamma & \cos \gamma\end{vmatrix}$

9.

(1) 证明:对于任意实数 $t$, 复数 $z = \sqrt{\cos t}+ \sqrt{\sin t}i$ 的模 $r= |z|$ 适合 $r \le \sqrt{2}$.

(2) 当实数 $t$ 取什么值时,复数 $z= \sqrt{\cos t}+ |\sin t|i$ 的幅角主值 $\theta$ 适合 $\displaystyle 0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ ?

10. 如图,在三棱锥 $S-ABC$ 中, $S$ 在底面上的射影 $N$ 位于底面的高 $CD$ 上; $M$ 是侧棱 $SC$ 上的一点,使截面 $MAB$ 与底面所成的角等于 $\angle NSC$,求证: $SC$ 垂直于截面 $MAB$.

11. 如图,已知椭圆长轴 $|A_{1}A_{2}| = 6$, 焦距 $|F_{1}F_{2}| = 4\sqrt{2}$,过椭圆焦点 $F_{1}$ 作一直线,交椭圆于两点 $M, N$.设$\angle F_{2}F_{1}M = \alpha$ ($0 < \alpha < \pi$), 当 $\alpha$ 取什么值时,$|MN|$等于椭圆短轴的长?

12. 已知数列 {$a_n$} 的首项 $a_{1} = b$ ($b \ne 0$),它的前 $n$ 项的和 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}$ ($n \ge 1$),并且 $S_{1}, S_{2}, S_{n}, \ldots$ 是一个等比数列,其公比为 $p$ ($p \ne 0$ 且 $|p|<1$).

(1) 证明: $a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots$ (即 {$a_n$} 从第二项起)是一个等比数列;

(2) 设 $W_{n} = a_{1}S_{1} + a_{2}S_{2} + a_{3}S_{3} + \ldots + a_{n}S_{n}$ ($n \ge 1$), 求$\lim\limits_{n\to\infty}W_{n}$ (用 $b, p$ 表示).

13. (1) 已知 $a, b$ 为实数,并且 $e < a < b$,其中 $e$ 是自然对数的底数,证明: $a^{b} > b^{a}$; (2) 如果正实数 $a, b$ 满足 $a^{b} = b^{a}$, 且 $a < 1$, 证明: $a = b$.