1998年全国卷理科

1. $\sin 600^{\circ}$ 的值是（　　）

2. 函数 $y = a^{x} (a > 1)$ 的图象是（　　）

3. 曲线的极坐标方程 $\rho=4\sin\theta$ 化成直角坐标方程为（　　）

4. 两条直线 $A_{1}x+B_{1}y+C_{1} = 0$, $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$ 垂直的充要条件是（　　）

5. 函数 $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}(x \ne 0)$ 的反函数 $f^{-1}(x) =$（　　）

6. 已知点 $P(\sin \alpha - \cos \alpha, \tan \alpha)$ 在第一象限, 则在 $[0,2\pi]$ 内 $\alpha$ 的取值范围是（　　）

7. 已知圆锥的全面积是底面积的 $3$ 倍, 那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（　　）

8. 复数 $-i$ 的一个立方根是 $i$, 它的另外两个立方根是（　　）

9. 如果棱台的两底面积分别是 $S, S'$, 中截面的面积是 $S_{0}$, 那么（　　）

10. 向高为 $H$ 的水瓶中注水, 注满为止. 如果注水量 $V$ 与水深 $h$ 的函数关系 的图象如下图所示, 那么水瓶的形状是（　　）

11. $3$ 名医生和 $6$ 名护士被分配到 $3$ 所学校为学生体检, 每校分配 $1$ 名医生和 $2$ 名护士, 不同的分配方法共有（　　）

12. 椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{12}+ \frac{y^{2}}{3}= 1$ 的焦点为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$, 点 $P$ 在椭圆上, 如果线段 $PF_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上, 那么 $|PF_{1}|$ 是 $|PF_{2}|$ 的（　　）

13. 球面上有 $3$ 个点, 其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 $\displaystyle \frac{1}{6}$, 经过这 $3$ 个点的小圆的周长为 $4\pi$, 那么这个球的半径为（　　）

14. 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列, 其最小内角为（　　）

15. 在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中, $a_{1} > 1$, 且前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}S_{n} = \frac{1}{2}$, 那么 $a_{1}$ 的取值范围是（　　）

16. 设圆过双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{9}- \frac{y^{2}}{16}= 1$ 的一个顶点和一个焦点, 圆心在此双曲线上, 则圆心到双曲线中心的距离是 $$

17. $(x + 2)^{10}(x^{2} - 1)$ 的展开式中 $x^{10}$ 的系数为 $$ (用数字作答)

18. 在直四棱柱 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} - ABCD$ 中, 当底面四边形 $ABCD$ 满足条件 $$ 时, 有 $A_{1}C \perp B_{1}D_{1}$. (注: 填上你认为正确的一种条件即可, 不必考虑所有可能的情形)

19. 关于函数 $\displaystyle f(x) = 4\sin \left( 2x + \frac{\pi}{3}\right)(x \in R)$, 有下列命题:

$\text{① }$ 由 $f(x_{1}) = f(x_{2})=0$ 可得 $x_{1}-x_{2}$ 必是的整数倍;

$\text{② }y = f(x)$ 的表达式可改写为 $\displaystyle y = 4 \cos \left( 2x-\frac{\pi}{6}\right)$;

$\text{③ }y = f(x)$ 的图象关于点 $\displaystyle (-\frac{\pi}{6},0)$ 对称;

$\text{④ }y = f(x)$ 的图象关于直线 $\displaystyle x = -\frac{\pi}{6}$ 对称.

其中正确的命题的序号是 $$. (注: 把你认为正确的命题的序号都填上)

20. 在 $\triangle ABC$ 中, $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边, 设 $\displaystyle a + c = 2b, A-C = \frac{\pi}{3}$, 求 $\sin B$ 的值.

21. 如图, 直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 相交于点 $M, l_{1} \perp l_{2}$, 点 $N \in l_{1}$. 以 $A, B$ 为端点的曲线段 $C$ 上的任一点 $P$ 到 $l_{2}$ 的距离与到 $P$ 点到 $l_{1}$ 的距离相等, 若 $\triangle AMN$ 为锐角三角形, $|AM| = \sqrt{17}, |AN| =3$, 且 $|BN|=6$. 建立适当的坐标系, 求曲线段 $C$ 的方程.

22. 如图, 为处理含有某种杂质的污水, 要制造一底宽为 $2$ 米的无盖长方体沉淀箱, 污水从 $A$ 孔流入, 经沉淀后从 $B$ 孔流出, 设箱体的长度为 $a$ 米, 高度为 $b$ 米, 已知流出的水中该杂质的质量分数与 $a, b$ 的乘积 $ab$ 成反比, 现有制箱材料 $60$ 平方米. 问当 $a, b$ 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. ($A、B$ 孔的面积忽略不计)

23. 已知斜三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 的侧面 $A_{1}ACC_{1}$ 与底面 $ABC$ 垂直, $\angle ABC = 90^{\circ}, BC = 2, AC = 2\sqrt{3}$, 且 $A A_{1} \parallel A_{1}C, A A_{1} = A_{1}C$.

(1) 求侧棱 $A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成角的大小;

(2) 求侧面 $A_{1}ABB_{1}$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的大小;

(3) 求侧棱 $B_{1}B$ 和侧面 $A_{1}ACC_{1}$ 的距离.

24. 设曲线 $C$ 的方程是 $y = x^{3}-x$, 将 $C$ 沿 $x$ 轴、$y$ 轴正向分别平行移动 $t、s$ 单位长度后得曲线 $C_{1}$.

(1) 写出曲线 $C_{1}$ 的方程;

(2) 证明曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 关于点 $\displaystyle A(\frac{t}{2}, \frac{s-t^{3}+t}{2})$ 对称;

(3) 如果曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 有且仅有一个公共点, 证明 $s = -t^{3}+t$ 且 $t \ne 0$.

25. 已知数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列, $b_{1} = 1, b_{1}+b_{2}+\dots+b_{10}= 145$.

(1) 求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项 $b_{n}$;

(2) 设数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $\displaystyle a_{n} = \log_{a} (1 + \frac{1}{b_{n}})$ (其中 $a > 0$, 且 $a \ne 1$), 记 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和. 试比较 $S_{n}$ 与 $\log_{a} b_{n+1}$ 的大小, 并证明你的结论.