2024年天津卷

1. 已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{2, 3, 4, 5\}$, 则 $A\cap B =$（　　）

2. 已知 $a, b \in \mathbb{R}$,则“$a^{3}= b^{3}$”是“$3^{a}= 3^{b}$”的（　　）

3. 下列图中,相关性系数最大的是

（　　）

4. 下列函数是偶函数的为（　　）

5. 设 $a = 4.2^{-0.2}$, $b = 4.2^{0.2}$, $c = \log_{4.2}0.2$, 则 $a, b, c$ 的大小关系为（　　）

6. 已知 $m, n$ 是两条直线,$\alpha$ 是一个平面.下列命题正确的是（　　）

7. 已知函数 $f(x) = 3\sin \left(\omega x + \dfrac{\pi}{3}\right)(\omega > 0)$ 的最小正周期为 $\pi$, 则 $f(x)$ 在 区间 $\left[-\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{\pi}{6}\right]$ 上的最小值为（　　）

8. 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1 (a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 点 $P$ 在 双曲线右支上,直线 $PF_{2}$ 的斜率为 $2$. 若 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 是直角三角形,且面积 为 $8$, 则双曲线的方程为（　　）

9. 在如图五面体中,棱 $AD$, $BE$, $CF$ 互相平行,且两两之间的距离均为 $1$.若 $AD = 1$, $BE = 2$, $CF = 3$,则该五面体的体积为

（　　）

10. $i$ 是虚数单位,复数 $(\sqrt{5}+i)(\sqrt{5}-2i) =$ $\underline{\qquad}$.

11. 在 $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{6}$ 的展开式中,常数项为 $\underline{\qquad}$.

12. 已知圆 $(x-1)^{2}+y^{2}=25$ 的圆心与抛物线 $y^{2}= 2px$ 的焦点 $F$ 重合,且两 曲线在第一象限的交点为 $A$,则原点到直线 $AF$ 的距离为 $\underline{\qquad}$.

13. 某校组织学生参加农业实践活动,期间安排了劳动技能比赛,比赛共 $5$ 个 项目,分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建,规定 每人参加其中 $3$ 个项目,假设每人参加每个项目的可能性相同,则甲同学 参加“整地做畦”项目的概率为 $\underline{\qquad}$;已知乙同学参加的 $3$ 个项目中有“整 地做畦”,则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 $\underline{\qquad}$.

14. 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$, $\overrightarrow{DE}= 2\overrightarrow{EC}$. 若 $\overrightarrow{BE}= \lambda \overrightarrow{BA}+ \mu \overrightarrow{BC}$, 其 中 $\lambda, \mu$ 为实数,则 $\lambda+\mu =$ $\underline{\qquad}$;设 $F$ 是线段 $BE$ 上的动点,$G$ 为线段 $AF$ 的中点,则 $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{DG}$ 的最小值为 $\underline{\qquad}$.

15. 设 $a \in \mathbb{R}$, 函数 $f(x) = 2^{|x^2 - ax - 2|}+1$.若 $f(x)$ 恰有一个零点, 则 $a$ 的取值范围是 $\underline{\qquad}$.

16. 在 $\triangle ABC$ 中,角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$. 已知 $\cos B = \dfrac{1}{10}$, $\dfrac{a}{c}= \dfrac{2}{5}$,

(1) 求 $a$ 的值;

(2) 求 $\sin A$ 的值;

(3) 求 $\cos(B-2A)$ 的值.

17. 如图,在四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中,$AA_{1}\perp$ 平面 $ABCD$, $AB \perp AD$, $AB \parallel DC$, $AB = AA_{1}= 2$, $AD = DC = 1$, $M, N$ 分别为 $DD_{1}, B_{1}C_{1}$ 的 中点.

(1) 求证: $D_{1}N \parallel$ 平面 $CB_{1}M$;

(2) 求平面 $CB_{1}M$ 与平面 $BB_{1}C_{1}C$ 夹角的余弦值;

(3) 求点 $B$ 到平面 $CB_{1}M$ 的距离.

18. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}= 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$.左顶点为 $A$,下顶点为 $B$, 点 $C$ 为线段 $OB$ 的中点 ($O$ 为原点), $\triangle ABC$ 的面积为 $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 过点 $C$ 的动直线与椭圆相交于 $P, Q$ 两点.在 $y$ 轴上是否存在点 $T$, 使得 $\overrightarrow{TP}\cdot\overrightarrow{TQ}\leq 0$ 恒成立?若存在,求出点 $T$ 纵坐标的取值范围;若不存 在,请说明理由.

19. 已知 $\{a_{n}\}$ 为公比大于 $0$ 的等比数列,其前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 且 $a_{1}= 1$, $S_{2}= a_{3}- 1$.

(1) 求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及 $S_{n}$;

(2) 设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n}= \begin{cases}k,&n = a_{k},\\ b_{n-1}+2k,&a_{k}< n < a_{k+1},\end{cases}$ 其中 $k \in \mathbb{N}^{*}$.

① 求证: 当 $n=a_{k+1}(k\in \mathbb{N}^{*}$, 且 $k>1$) 时, $b_{n}= b_{n-1}+ a_{k}$;

② 求 $\sum\limits_{i=1}^{S_4}b_{i}$.

20. 已知函数 $f(x) = x\ln x$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程;

(2) 若 $f(x) \geq a(x-\sqrt{x})$ 对任意 $x\in(0,+\infty)$ 成立,求实数 $a$ 的值;

(3) 若 $x_{1}, x_{2}\in (0,1)$, 求证: $|f(x_{1}) - f(x_{2})| < |x_{1}-x_{2}|$.