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1991年三南卷

1991 年

共 30 道题

1991年三南卷
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1. sin⁡15∘cos⁡30∘sin⁡75∘\sin 15^{\circ}\cos 30^{\circ}\sin 75^{\circ} 的值等于（　　）

A. 34\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}

B. 38\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}

C. 18\displaystyle \frac{1}{8}

D. 14\displaystyle \frac{1}{4}

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2. 已知一个等差数列的第 55 项等于 1010, 前 33 项的和等于 33, 那么（　　）

A. 它的首项是 −2-2, 公差是 33

B. 它的首项是 22, 公差是 −3-3

C. 它的首项是 −3-3, 公差是 22

D. 它的首项是 33, 公差是 −2-2

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3. 设正六棱锥的底面边长为 11, 侧棱长为 5\sqrt{5}, 那么它的体积为（　　）

A. 636\sqrt{3}

B. 232\sqrt{3}

C. 3\sqrt{3}

D. 22

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4. 在直角坐标系 xOyxOy 中, 参数方程 {x=2t+1,y=2t2−1,\begin{cases}x = 2t + 1, \\ y = 2t^{2} - 1,\end{cases} (其中 tt 是参数) 表示的曲线是（　　）

A. 双曲线

B. 抛物线

C. 直线

D. 圆

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5. 设全集为自然数集 NN, E={x∣x=2n,n∈N}E = \{x | x = 2n, n \in N\}, F={x∣x=4n,n∈N}F = \{x | x = 4n, n \in N\}, 那么集合 NN 可以表示成（　　）

A. E∩FE \cap F

B. E∪FE \cup F

C. E∪FE \cup F

D. E∩FE \cap F

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6. 已知 z1z_{1}, z2z_{2} 是两个给定的复数, 且 z1≠z2z_{1} \neq z_{2}, 它们在复平面上分别对应于点 Z1Z_{1} 和点 Z2Z_{2}. 如果 zz 满足方程 ∣z−z1∣−∣z−z2∣=0|z - z_{1}| - |z - z_{2}| = 0, 那么 zz 对应的点 ZZ 的集合是（　　）

A. 双曲线

B. 线段 Z1Z2Z_{1}Z_{2} 的垂直平分线

C. 分别过 Z1,Z2Z_{1}, Z_{2} 的两条相交直线

D. 椭圆

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7. 设 5π<θ<6π5\pi < \theta < 6\pi, cos⁡θ2=a\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}= a, 那么 sin⁡θ2\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} 等于（　　）

A. 1+a2\displaystyle \sqrt{\frac{1 + a}{2}}

B. 1−a2\displaystyle \sqrt{\frac{1 - a}{2}}

C. −1+a2\displaystyle -\sqrt{\frac{1 + a}{2}}

D. −1−a2\displaystyle -\sqrt{\frac{1 - a}{2}}

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8. 函数 y=sin⁡xy = \sin x, x∈[π,3π2]\displaystyle x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}] 的反函数为（　　）

A. y=arcsin⁡xy = \arcsin x, x∈[−1,1]x \in [-1,1]

B. y=arcsin⁡xy = \arcsin x, x∈[−1,1]x \in [-1,1]

C. y=π+arcsin⁡xy = \pi + \arcsin x, x∈[−1,1]x \in [-1,1]

D. y=π−arcsin⁡xy = \pi - \arcsin x, x∈[−1,1]x \in [-1,1]

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9. 复数 z=−3(sin⁡5π4−icos⁡5π4)\displaystyle z = -3(\sin \frac{5\pi}{4}- i\cos \frac{5\pi}{4}) 的辐角的主值是（　　）

A. 5π4\displaystyle \frac{5\pi}{4}

B. 11π4\displaystyle \frac{11\pi}{4}

C. −5π4\displaystyle -\frac{5\pi}{4}

D. 3π4\displaystyle \frac{3\pi}{4}

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10. 满足 sin⁡(x−π3)≥12\displaystyle \sin(x - \frac{\pi}{3}) \ge \frac{1}{2} 的 xx 的集合是（　　）

A. {x∣2kπ+5π12≤x≤2kπ+13π12,k∈Z}\displaystyle \{x | 2k\pi + \frac{5\pi}{12}\le x \le 2k\pi + \frac{13\pi}{12}, k \in Z\}

B. {x∣2kπ+π12≤x≤2kπ+7π12,k∈Z}\displaystyle \{x | 2k\pi + \frac{\pi}{12}\le x \le 2k\pi + \frac{7\pi}{12}, k \in Z\}

C. {x∣2kπ−π12≤x≤2kπ+7π12,k∈Z}\displaystyle \{x | 2k\pi - \frac{\pi}{12}\le x \le 2k\pi + \frac{7\pi}{12}, k \in Z\}

D. {x∣2kπ≤x≤2kπ+5π6 或 2kπ+π≤x≤(2k+1)π,k∈Z}\displaystyle \{x | 2k\pi \le x \le 2k\pi + \frac{5\pi}{6}\text{ 或 }2k\pi + \pi \le x \le (2k + 1)\pi, k \in Z\}

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11. 点 (4,0)(4,0) 关于直线 5x+4y+21=05x+4y+21=0 的对称点是（　　）

A. (−6,8)(-6,8)

B. (−8,−6)(-8,-6)

C. (6,8)(6,8)

D. (−6,−8)(-6,-8)

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12. 极坐标方程 4sin⁡2θ=34\sin 2\theta = 3 表示的曲线是（　　）

A. 二条射线

B. 二条相交直线

C. 圆

D. 抛物线

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13. 由数字 0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5 组成无重复数字的六位数, 其中个位数字小于十位数 字的共有（　　）

A. 210210 个

B. 300300 个

C. 464464 个

D. 600600 个

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14. 如图是周期为 22 的三角函数 y=f(x)y=f(x) 的图象, 那么 f(x)f(x) 可以写成 ( )

📐 待生成图：周期为2的三角函数y=f(x)的图象

（　　）

A. sin⁡(1+x)\sin(1+x)

B. sin⁡(−1−x)\sin(-1-x)

C. sin⁡(x−1)\sin(x-1)

D. sin⁡(1−x)\sin(1-x)

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15. 设命题甲为 lg⁡x2=0\lg x^{2}=0; 命题乙为 x=1x=1. 那么（　　）

A. 甲是乙的充分条件, 但不是乙的必要条件

B. 甲是乙的必要条件, 但不是乙的充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲不是乙的充分条件, 也不是乙的必要条件

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16. (x−2x)6\displaystyle (x - \frac{2}{\sqrt{x}})^{6} 的展开式中常数项是（　　）

A. −160-160

B. −20-20

C. 2020

D. 160160

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17. 体积相等的正方体, 球, 等边圆柱 (即底面直径与母线相等的圆柱) 的全面积分别为 S1,S2,S3S_{1}, S_{2}, S_{3}, 那么它们的大小关系为（　　）

A. S1≤S2≤S3S_{1} \le S_{2} \le S_{3}

B. S1<S3<S2S_{1} < S_{3} < S_{2}

C. S2<S3<S1S_{2} < S_{3} < S_{1}

D. S2<S1<S3S_{2} < S_{1} < S_{3}

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18. 曲线 2y2+3x+3=02y^{2} +3x+3=0 与曲线 x2+y2−4x−5=0x^{2} + y^{2} - 4x - 5 = 0 的公共点的个数是（　　）

A. 44

B. 33

C. 22

D. 11

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19. 椭圆 9x2+16y2=1449x^{2}+16y^{2}=144 的离心率为

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20. 设复数 z1=2−iz_{1} = 2 - i, z2=1−3iz_{2} = 1 - 3i, 则复数 z1z2+1i\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}+ \frac{1}{i} 的虚部等于

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21. 已知圆台的上, 下底面半径分别为 r,2rr, 2r, 侧面积等于上, 下底面积之和, 则圆台的高为

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22. lim⁡n→∞4n2n+1n.3n−1\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{4n^{2}n+1}{n.3^{n}-1}

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23. 在体积为 VV 的斜三棱柱 ABC−A′B′C′ABC-A'B'C' 中, 已知 SS 是侧棱 CC′CC' 上的一点, 过点 S,A,BS, A, B 的截面截得的三棱锥的体积为 V1V_{1}, 那么过点 S,A′,B′S, A', B' 的截面截得的三棱锥的体积为

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24. 设函数 f(x)=x2+x+34\displaystyle f(x) = x^{2} + x + \frac{3}{4} 的定义域是 {n,n+1}\{n, n + 1\} (nn 是自然数), 那么在 f(x)f(x) 的值域中共有 个整数.

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25. 已知 α,β\alpha, \beta 为锐角, cos⁡α=17\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{7}, tan⁡(α−β)=15\displaystyle \tan(\alpha - \beta) = \frac{1}{5}, 求 cos⁡β\cos \beta 的值.

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26. 解不等式: 5−4x−x2≥x\sqrt{5 - 4x - x^{2}}\ge x.

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27. 如图,已知直棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中, ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}, ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^{\circ}, BC=1BC = 1, AA1=6AA_{1} = \sqrt{6}, MM 是 CC1CC_{1} 的中点,求证: AB1⊥A1MAB_{1} \perp A_{1}M.

📐 待生成图：直棱柱ABC-A1B1C1, M为CC1中点

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28. 设 {an}\{a_{n}\} 是等差数列, a1=1a_{1} = 1, SnS_{n} 是它的前 nn 项和; {bn}\{b_{n}\} 是等比数列, 其公比的绝对值小于 11, TnT_{n} 是它的前 nn 项和. 如果 a3=b2a_{3} = b_{2}, S52=2T26S_{52}= 2T_{26}, lim⁡n→∞Tn=9\lim\limits_{n\to\infty}T_{n} = 9, {an}\{a_{n}\}, {bn}\{b_{n}\} 的通项公式.

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29. 已知双曲线 CC 的实半轴长与虚半轴的乘积为 3\sqrt{3}, CC 的两个焦点分别为 F1,F2F_{1}, F_{2}, 直线 ll 过 F2F_{2} 且与直线 F1F2F_{1}F_{2} 的夹角为 tan⁡γ=212\displaystyle \tan \gamma = \frac{\sqrt{21}}{2}, ll 与线段 F1F2F_{1}F_{2} 的垂直平分线的交点是 PP, 线段 PF2PF_{2} 与双曲线 CC 的交点为 QQ, 且 ∣PQ∣:QF2=2:1|PQ|:QF_{2}=2:1. 求双曲线 CC 的方程.

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30. 已知函数 f(x)=2x−12x+1\displaystyle f(x) = \frac{2^{x-1}}{2^{x}+1}

(1) 证明: f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上是增函数;

(2) 证明: 对于任意不小于 33 的自然数 nn, 都有 f(n)>nn+1\displaystyle f(n) > \frac{n}{n+1}

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