1982年全国卷理

1. 填表:

2.

(1) 求$(-1+i)^{20}$展开式中第15项的数值; (2) 求$\displaystyle y = \cos^{2} \frac{x}{3}$的导数.

3. 在平面直角坐标系内,下列方程表示什么曲线?画出它们的图形. (1) $\begin{vmatrix}2x&1&1 \\ -3y&2&3 \\ 6&3&4\end{vmatrix} = 0$; (2) $\begin{cases}x = 1 + \cos \varphi, \\ y = 2 \sin \varphi.\end{cases}$

4. 已知圆锥体的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h(如图).

\begin{figure}[H] $\centering$ $\includegraphics{images/1982_national_sci_1.png}$ \end{figure}

5. 设$0 < x < 1$, $a > 0$, $a \neq 1$, 比较 $|\log(1-x)|$与$|\log_{a}(1+x)|$的大小. (要写出比较过程)

6. 如图:已知锐角$\angle AOB = 2\alpha$内有动点P, PM$\perp$OA, PN$\perp$OB,且四边形PMON 的面积等于常数$S^{2}$.今以O为极点,$\angle AOB$的角平分线OX为极轴,求动点P的轨迹的极坐标方程,并说明它表示什么曲线.

\begin{figure}[H] $\centering$ $\includegraphics{images/1982_national_sci_2.png}$ \end{figure}

7. 已知空间四边形ABCD中AB = BC, CD = DA, M, N, P, Q分别是边AB, BC, CD, DA的中点(如图).求证:MNPQ是一个矩形.

\begin{figure}[H] $\centering$ $\includegraphics{images/1982_national_sci_3.png}$ \end{figure}

8. 抛物线 $y^{2} = 2px$ 的内接三角形有两边与抛物线$x^{2} = 2qy$相切,证明这个三角形的第三边也与$x^{2}=2qy$相切.

9. 附加题 已知数列 $a_{1}, a_{2},\ldots, a_{n},\ldots$和数列 $b_{1},b_{2},\ldots, b_{n},\ldots$,其中 $a_{1} = p$, $b_{1} = q$, $a_{n} = pa_{n-1}$, $b_{n} = qa_{n-1}+rb_{n-1}$ ($n \ge 2$), ($p,q,r$是已知常数,且$q \neq 0, p > r > 0$).

(1) 用$p, q, r, n$表示$b_{n}$,并用数学归纳法加以证明;

(2) 求$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\frac{b_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$.