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1996年全国卷文科

1996 年

共 25 道题

1996年全国卷文科
—(0)

1. 设全集 I={1,2,3,4,5,6,7}I = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\},集合 A={1,3,5,7}A = \{1, 3, 5, 7\}, B={3,5}B = \{3, 5\},则（　　）

A. I=A∪BI = A \cup B

B. I=∁IA∪BI = \complement_{I}A \cup B

C. I=A∪∁IBI = A \cup \complement_{I}B

D. I=∁IA∪∁IBI = \complement_{I}A \cup \complement_{I}B

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2. 当 a>1a>1 时,在同一坐标系中,函数 y=a−xy=a^{-x} 与 y=log⁡axy=\log_{a} x 的图象

📐 待生成图：函数y=a⁻ˣ与y=log_a x的图象

（　　）

1996年全国卷文科
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3. 若 sin⁡2x>cos⁡2x\sin^{2} x > \cos^{2} x,则 xx 的取值范围是（　　）

A. {x∣2kπ+π4<x<2kπ+3π4,k∈Z}\displaystyle \left\{x \Biggm| 2k\pi + \frac{\pi}{4}< x < 2k\pi + \frac{3\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}\right\}

B. {x∣2kπ+π4<x<2kπ+5π4,k∈Z}\displaystyle \left\{x \Biggm| 2k\pi + \frac{\pi}{4}< x < 2k\pi + \frac{5\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}\right\}

C. {x∣kπ−π4<x<kπ+π4,k∈Z}\displaystyle \left\{x \Biggm| k\pi - \frac{\pi}{4}< x < k\pi + \frac{\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}\right\}

D. {x∣kπ+π4<x<kπ+3π4,k∈Z}\displaystyle \left\{x \Biggm| k\pi + \frac{\pi}{4}< x < k\pi + \frac{3\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}\right\}

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4. 复数 (2+2i)4(1−3i)3\displaystyle \frac{(2+2i)^{4}}{(1-\sqrt{3}i)^{3}} 等于（　　）

A. 1+3i1+\sqrt{3}i

B. −1+3i-1+\sqrt{3}i

C. 1−3i1-\sqrt{3}i

D. −1−3i-1-\sqrt{3}i

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5. 66 名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（　　）

A. 720720种

B. 360360种

C. 240240种

D. 120120种

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6. 已知 α\alpha 是第三象限角且 sin⁡α=−2425\displaystyle \sin \alpha = -\frac{24}{25}, 则 tan⁡α2\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2} 是（　　）

A. 43\displaystyle \frac{4}{3}

B. 34\displaystyle \frac{3}{4}

C. −34\displaystyle -\frac{3}{4}

D. −3-3

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7. 如果直线 l,ml,m 与平面 α,β,γ\alpha, \beta, \gamma 满足: l=β∩γl = \beta \cap \gamma, l/ ⁣/αl \parallel \alpha, m⊂αm \subset \alpha, m⊥γm \perp \gamma, 那么必有（　　）

A. α⊥γ\alpha \perp \gamma 且 l⊥ml \perp m

B. α⊥γ\alpha \perp \gamma 且 m/ ⁣/βm \parallel \beta

C. m/ ⁣/βm \parallel \beta 且 l⊥ml \perp m

D. α/ ⁣/β\alpha \parallel \beta 且 α⊥γ\alpha \perp \gamma

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8. 当 −π6<x<π3\displaystyle -\frac{\pi}{6}< x < \frac{\pi}{3}, f(x)=sin⁡x+3cos⁡xf(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x 的（　　）

A. 最大值是 11, 最小值是 −1-1

B. 最大值是 11, 最小值是 −12\displaystyle -\frac{1}{2}

C. 最大值是 22, 最小值是 −2-2

D. 最大值是 22, 最小值是 −1-1

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9. 中心在原点,准线方程为 x=±4x=\pm 4, 离心率为 12\displaystyle \frac{1}{2} 的椭圆方程是（　　）

A. x216+y212=1\displaystyle \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1

B. x212+y216=1\displaystyle \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{16}=1

C. x24+y2=1\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1

D. x2+y24=1\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1

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10. 圆锥母线长为 11, 侧面展开图圆心角为 240∘240^{\circ},该圆锥的体积（　　）

A. 22π81\displaystyle \frac{2\sqrt{2}\pi}{81}

B. 8π81\displaystyle \frac{8\pi}{81}

C. 45π81\displaystyle \frac{4\sqrt{5}\pi}{81}

D. 10π81\displaystyle \frac{10\pi}{81}

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11. 椭圆 25x2−150x+9y2+18y+9=025x^{2}-150x+9y^{2}+18y+9=0 的两个焦点坐标是（　　）

A. (−3,5),(−3,−3)(-3,5), (-3,-3)

B. (3,3),(3,−5)(3,3), (3,-5)

C. (1,1),(−7,1)(1,1), (-7,1)

D. (7,−1),(−1,−1)(7,-1), (-1,-1)

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12. 将边长为 aa 的正方形 ABCDABCD 沿对角线 ACAC 折起,使得 BD=aBD = a, 则三棱锥 DABCDABC 的体积为（　　）

A. a36\displaystyle \frac{a^{3}}{6}

B. a312\displaystyle \frac{a^{3}}{12}

C. 3a312\displaystyle \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}

D. 2a312\displaystyle \frac{\sqrt{2}a^{3}}{12}

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13. 等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 mm 项和为 3030, 前 2m2m 项和为 100100, 则它的前 3m3m 项和为（　　）

A. 130130

B. 170170

C. 210210

D. 260260

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14. 设双曲线 x2a2−y2b2=1(0<a<b)\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (0 < a < b) 的半焦距为 cc, 直线 ll 过 (a,0),(0,b)(a,0), (0,b) 两点,已知原点到直线 ll 的距离为 32c\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}c, 则双曲线的离心率为（　　）

A. 22

B. 3\sqrt{3}

C. 2\sqrt{2}

D. 233\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}

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15. 设 f(x)f(x) 是 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上的奇函数, f(x+2)=−f(x)f(x+2) = -f(x),当 0≤x≤10 \le x \le 1 时, f(x)=xf(x) = x, 则 f(7.5)f(7.5) 等于（　　）

A. 0.50.5

B. −0.5-0.5

C. 1.51.5

D. −1.5-1.5

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16. 已知点 (−2,3)(-2,3) 与抛物线 y2=2px(p>0)y^{2} = 2px (p>0) 的焦点的距离是 55, 则 p=p=______.

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17. 正六边形的中心和顶点共 77 个点,以其中 33 个点为顶点的三角形共有______个.(用数字作答)

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18. tan⁡20∘+tan⁡40∘+3tan⁡20∘tan⁡40∘\tan 20^{\circ} + \tan 40^{\circ} + \sqrt{3}\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ} 的值是______.

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19. 如图,正方形 ABCDABCD 所在平面与正方形 ABEFABEF 所在平面成 60∘60^{\circ} 的二面角,则异面直线 ADAD 与 BFBF 所成角的余弦值是

📐 待生成图：正方形ABCD与ABEF成60度二面角

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20. 解不等式: log⁡a(x+1−a)>1\log_{a}(x+1-a)>1.

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21. 设等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 若 S3+S6=2S9S_{3}+S_{6}=2S_{9},求数列的公比 qq.

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22. 已知 △ABC\triangle ABC 的三个内角 A,B,CA,B,C 满足: A+C=2BA+C=2B, 1cos⁡A+1cos⁡C=2cos⁡B\displaystyle \frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos C}=\frac{\sqrt{2}}{\cos B}. 求 cos⁡A−C2\displaystyle \cos\frac{A-C}{2} 的值.

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23. 如图,在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中, AB=AA13=a\displaystyle AB=\frac{AA_{1}}{3}=a, E,FE,F 分别是 BB1,CC1BB_{1}, CC_{1} 上的点且 BE=a,CF=2aBE=a, CF=2a.

(1) 求证: 面 AEF⊥AEF \perp 面 A1CFA_{1}CF;

(2) 求三棱锥 A1−AEFA_{1}-AEF 的体积.

📐 待生成图：正三棱柱ABC-A1B1C1,E为BB1上点,F为CC1上点

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24. 某地现有耕地 1000010000 公顷,规划 1010 年后粮食单产比现在增加 22%22\%,人均粮食占有量比现在提高 10%10\%. 如果人口年增长率为 1%1\%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到 11 公顷)? (粮食单产 = 总产量耕地面积\displaystyle \frac{总产量}{耕地面积} ,人均粮食占有量 = 总产量总人口数\displaystyle \frac{总产量}{总人口数})

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25. 已知 l1,l2l_{1},l_{2} 是过点 P(−2,0)P(-\sqrt{2},0) 的两条互相垂直的直线,且 l1,l2l_{1},l_{2} 与双曲线 y2−x2=1y^{2}-x^{2}=1 各有两个交点,分别为 A1,B1A_{1},B_{1} 和 A2,B2A_{2},B_{2}.

(1) 求 l1l_{1} 的斜率 k1k_{1} 的取值范围;

(2) 若 A1A_{1} 恰是双曲线的一个顶点,求 ∣A2B2∣|A_{2}B_{2}| 的值.

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