2002年大纲卷理

1. 圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 的圆心到直线 $\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$ 的距离是（　　）

2. 复数 $\displaystyle (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{3}$ 的值是（　　）

3. 不等式 $(1+x)(1-x)>0$ 的解集是（　　）

4. 在 $(0,2\pi)$ 内,使 $\sin x > \cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是（　　）

5. 设集合 $\displaystyle M = \{x|x=\frac{\pi}{4}+\frac{k}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}\}$, $\displaystyle N = \{x|x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$,则（　　）

6. 点 $P(1,0)$ 到曲线 $\begin{cases}x = t^{2} \\ y = 2t\end{cases}$ (其中参数 $t \in \mathbb{R}$) 上的点的最短距离为（　　）

7. 一个圆锥和一个半球有公共底面, 如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等, 那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（　　）

8. 正六棱柱 $ABCDEF - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$ 的底面边长为 $1$,侧棱长为 $\sqrt{2}$,则这个棱柱侧面对角线 $E_{1}D$ 与 $BC_{1}$ 所成的角是（　　）

9. 函数 $y= x^{2} + bx + c, x \in [0,+\infty)$ 是单调函数的充要条件是（　　）

10. 函数 $\displaystyle y=1-\frac{1}{x-1}$ 的图象是（　　）

11. 从正方体的 $6$ 个面中选取 $3$ 个面,其中有 $2$ 个面不相邻的选法共有（　　）

12. 据 $2002$ 年 $3$ 月 $5$ 日九届人大五次会议《政府工作报告》:“$2001$ 年国内生产总值达到 $95933$ 亿元,比上年增长 $7.3\%”,如果“十·五”期间 ($2001$年—$2005$年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（　　）

13. 函数 $y = a^{x}$ 在 $[0,1]$ 上的最大值与最小值这和为 $3$, 则 $a =$ __________.

14. 椭圆 $5x^{2} + ky^{2} = 5$ 的一个焦点是 $(0,2)$, 那么 $k =$ __________.

15. $(x^{2} + 1)(x - 2)^{n}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数是 __________.

16. 已知 $\displaystyle f(x) = \frac{x^{2}}{1+x^{2}}$, 那么 $\displaystyle f(1) + f(2) + f(\frac{1}{2}) + f(3) + f(\frac{1}{3}) + f(4) + f(\frac{1}{4}) =$ __________.

17. 已知 $\sin^{2} 2\alpha + \sin 2\alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha = 1$, $\displaystyle \alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$,求 $\sin \alpha$、$\tan \alpha$ 的值.

18. 如图,正方形 $ABCD$、 $ABEF$ 的边长都是 $1$,而且平面 $ABCD$、$ABEF$ 互相垂直,点 $M$ 在 $AC$ 上移动,点 $N$ 在 $BF$ 上移动,若 $CM = BN = a (0 < a < \sqrt{2})$.

(1) 求 $MN$ 的长;

(2) $a$ 为何值时, $MN$ 的长最小;

(3) 当 $MN$ 的长最小时,求面 $MNA$ 与面 $MNB$ 所成二面角 $\alpha$ 的大小.

19. 设点 $P$ 到点 $(-1,0)$、 $(1,0)$ 距离之差为 $2m$,到 $x$、$y$ 轴的距离之比为 $2$,求 $m$ 的取值范围.

20. 某城市 $2001$ 年末汽车保有量为 $30$ 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 $6\%$,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 $60$ 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

21. 设 $a$ 为实数,函数 $f(x) = x^{2}+ |x - a + 1|, x \in \mathbb{R}$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的奇偶性;

(2) 求 $f(x)$ 的最小值.

22. 设数列 $\{a_{n}\}$ 满足: $a_{n+1}= a_{n}^{2} - na_{n} + 1$, $n = 1, 2, 3, \dots$.

(1) 当 $a_{1} = 2$ 时,求 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 并由此猜测 $a_{n}$ 的一个通项公式;

(2) 当 $a_{1} \ge 3$ 时,证明对所的 $n \ge 1$, 有 $\displaystyle \frac{a_{n}}{n+2}\ge 1$; $\displaystyle \frac{1}{1+a_{1}}+ \frac{1}{1+a_{2}}+ \frac{1}{1+a_{3}}+ \dots + \frac{1}{1+a_{n}}< \frac{1}{2}$.