1990年全国卷理科数学

1. 方程 $\displaystyle 2^{\log_3 \frac{1}{x}}$ 的解是（　　）

2. 把复数 $1+i$ 对应的向量按顺时针方向旋转 $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$, 所得到的向量对应的复数是（　　）

3. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 $S$, 那么圆柱的体积等于（　　）

4. 方程 $\sin 2x = \sin x$ 在区间 $(0, 2\pi)$ 内的解的个数是（　　）

5. 如图是函数 $y = 2\sin (\omega x + \varphi)$ ($\displaystyle |\varphi| < \frac{\pi}{2}$) 的图象, 那么

📐 [图：正弦函数图像，过点 $\displaystyle (-\frac{1}{6}, 0)$ 和 $\displaystyle (\frac{11}{12}, 0)$，函数在 $(0,3)$ 取最大值]（　　）

6. 函数 $\displaystyle y = \frac{\sin x}{\cos x}+ \frac{\cos x}{\sin x}+ \frac{\tan x}{\cot x}+ \frac{\cot x}{\tan x}$ 的值域是（　　）

7. 如果直线 $y = ax+2$ 与直线 $y=3x-b$ 关于直线 $y=x$ 对称, 那么（　　）

8. 极坐标方程 $\displaystyle 4\rho\sin^{2}\frac{\theta}{2}= 5$ 表示的曲线是（　　）

9. 设全集 $I = \{(x,y) \mid x, y \in R\}$, 集合 $\displaystyle M = \{(x,y) \mid \frac{y-3}{x-2}= 1\}$, $N = \{(x,y) \mid y \neq x+1\}$. 那么 $M \cap \bar{N}$ 等于（　　）

10. 如果实数 $x, y$ 满足等式 $(x-2)^{2}+y^{2}=3$, 那么 $\displaystyle \frac{y}{x}$ 的最大值是（　　）

11. 如图, 正三棱锥 $S-ABC$ 的侧棱与底面边长相等, 如果 $E, F$ 分别为 $SC, AB$ 的中点, 那么异面直线 $EF$ 与 $SA$ 所成的角等于

📐 [图：正三棱锥S-ABC，E为SC中点，F为AB中点]（　　）

12. 已知 $h > 0$. 设命题甲为: 两个实数 $a, b$ 满足 $|a-b|<2h$; 命题乙为: 两个实数 $a, b$ 满足 $|a-1|<h$ 且 $|b-1|<h$. 那么甲是乙的（　　）

13. $A, B, C, D, E$ 五人并排站成一排, 如果 $B$ 必须站在 $A$ 的右边 ($A, B$ 可以不相邻), 那么不同的排法共有（　　）

14. 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（　　）

15. 设函数 $y = \arctan x$ 的图象沿 $x$ 轴正方向平移 $2$ 个单位所得到的图象为 $C$. 又设图象 $C'$ 与 $C$ 关于原点对称, 那么 $C'$ 所对应的函数是（　　）

16. 双曲线 $\displaystyle \frac{y^{2}}{16}- \frac{x^{2}}{9}= 1$ 的准线方程是

17. $(x-1) - (x-1)^{2} + (x-1)^{3} - (x-1)^{4} + (x-1)^{5}$ 的展开式中, $x^{2}$ 的系数等于

18. 已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列, 如果 $S_{n}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和, 那么 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{na_{n}}{S_{n}}$ 等于

19. 函数 $y = \sin x \cos x + \sin x + \cos x$ 的最大值是

20. 如图, 三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中, 若 $E, F$ 分别为 $AB, AC$ 的中点, 平面 $EB_{1}C_{1}F$ 将三棱柱分成体积为 $V_{1}, V_{2}$ 的两部分, 那么 $V_{1}:V_{2} =$.

📐 [图：三棱柱ABC-A1B1C1，E为AB中点，F为AC中点]

21. 有四个数, 其中前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 并且第一个数与第四个数的和是 $16$, 第二个数与第三个数的和是 $12$. 求这四个数.

22. 已知 $\displaystyle \sin\alpha + \sin\beta = \frac{1}{4}$, $\displaystyle \cos\alpha + \cos\beta = \frac{1}{3}$, 求 $\tan(\alpha+\beta)$ 的值.

23. 如图, 在三棱锥 $S-ABC$ 中, $SA \perp$ 底面 $ABC, AB \perp BC$. $DE$ 垂直平分 $SC$, 且分别交 $AC, SC$ 于 $D, E$. 又 $SA=AB, SB=BC$. 求以 $BD$ 为棱, 以 $BDE$ 与 $BDC$ 为面的二面角的度数.

📐 [图：三棱锥S-ABC，SA垂直底面ABC，AB垂直BC，DE垂直平分SC，D在AC，E在SC]

24. 设 $a \ge 0$, 在复数集 $C$ 中解方程: $z^{2}+2|z|=a$.

25. 设椭圆的中心是坐标原点, 长轴在 $x$ 轴上, 离心率 $\displaystyle e = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 已知点 $P(0,2)$ 到这个椭圆上的点的最远距离是 $\sqrt{7}$. 求这个椭圆的方程, 并求椭圆上到点 $P$ 的距离等于 $\sqrt{7}$ 的点的坐标.