2024年浙江宁波十校高三3月联考

1. 集合 $M = \{x|-2\leq x\leq 3\}$, $N= \{x|\ln x\leq 1\}$, 则 $M\cup N=$（　　）

2. 若复数 $z$ 满足 $(1+i)z=5i-z$, 则 $|z|=$（　　）

3. 已知平面向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $\vec{a}= (1,2)$, $|\vec{b}-2\vec{a}| = 4$ 且 $(\vec{b}-2\vec{a}) \perp \vec{a}$, 则 $|\vec{b}| =$（　　）

4. 某电视台计划在春节期间某段时间连续播放 $6$ 个广告,其中 $3$ 个不同的商业广告和 $3$ 个不同的公益广告,要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告,且商业广告不能 $3$ 个连续播放,则不同的播放方式有（　　）

5. 学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内,绿萝底部的盆近似看成一个圆台,圆台的上、下底面半径之比为 $5:3$,母线长为 $8$cm,其母线与底面所成的角为 $60^{\circ}$,则这个圆台的体积为（　　）

6. 过直线 $y=3x$ 上的点 $P$ 作圆 $C:(x+2)^{2}+ (y-4)^{2}=4$ 的两条切线 $l_{1},l_{2}$, 当直线 $l_{1},l_{2}$ 关于直线 $y=3x$ 对称时,点 $P$ 的坐标为（　　）

7. 已知 $S_{n}$ 是公比不为 $1$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和,则“$S_{2},S_{6},S_{9}$ 成等差数列”是“存在不相等的正整数 $m,n$ 使得 $a_{m},a_{mn},a_{n}$ 成等差数列”的（　　）

8. 若函数 $f(x) = a^{x}+b^{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,则 $a$ 和 $b$ 的可能取值为（　　）

9. 已知一组样本数据 $x_{i}(i=1,2,3,\dots,10)$,其中 $x_{i}(i=1,2,3,\dots,10)$ 为正实数. 满足 $x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq \cdots \leq x_{10}$,下列说法正确的是（　　）

(A) 样本数据的第 $80$ 百分位数为 $x_{8}$;

(B) 去掉样本的一个数据,样本数据的极差可能不变;

(C) 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称,且在右边“拖尾”,则样本数据的平均数大于中位数;

(D) 若样本数据的方差 $s^{2}=\dfrac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-4$,则这组样本数据的平均数等于 $2$

10. 将函数 $f(x) = \sin(\omega x-\dfrac{\pi}{12})(0<\omega<6)$ 的图象向右平移 $\dfrac{\pi}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象,若 $(0,0)$ 是 $g(x)$ 的一个单调递增区间,则（　　）

11. 已知直四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, $AA_{1}= \sqrt{3}$,底面 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的菱形,且 $\angle BAD=120^{\circ}$,点 $E,F,G$ 分别为 $A_{1}B_{1}, DD_{1},BC$ 的中点,点 $H$ 是棱 $A_{1}D_{1}$ 上的动点. 以 $A_{1}$ 为球心作半径为 $R$ 的球,下列说法正确的是（　　）

12. 若 $\sin(\theta-\dfrac{\pi}{7}) = \dfrac{1}{3}$,则 $\cos(2\theta+\dfrac{2\pi}{7})=$ $\underline{\qquad}$.

13. 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $b+c=1$,则 $\dfrac{8ab^2+a}{bc}+ \dfrac{2}{a+1}$ 的最小值为 $\underline{\qquad}$.

14. 已知双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$,斜率为 $-\dfrac{1}{2}$ 的直线与 $E$ 的左右两支分别交于 $A,B$ 两点,点 $P$ 的坐标为 $(-1,1)$,直线 $AP$ 交 $E$ 于另一点 $C$,直线 $BP$ 交 $E$ 于另一点 $D$. 若直线 $CD$ 的斜率为 $-\dfrac{1}{9}$,则 $E$ 的离心率为 $\underline{\qquad}$.

15. $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$,且 $\sin(A-B)\cos C=\cos B\sin(A-C)$.

(1) 判断 $\triangle ABC$ 的形状;

(2) 若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形, $\sin A=\dfrac{1}{b}$,求 $\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2c}$ 的最大值.

16. 已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是直角梯形, $AD \parallel BC$, $AB \perp BC$, $AB = \sqrt{3}$, $BC=2AD=2$, $E$ 为 $CD$ 的中点, $PB\perp AE$.

(1) 证明:平面 $PBD \perp$ 平面 $ABCD$;

(2) 若 $PB=PD$, $PC$ 与平面 $ABCD$ 所成的角为 $\dfrac{\pi}{3}$,过点 $B$ 作平面 $PCD$ 的垂线,垂足为 $N$,求点 $N$ 到平面 $ABCD$ 的距离.

17. 已知函数 $f_{n}(x) = \dfrac{e^x}{x^n}-k(\dfrac{n}{x}+\ln x)$, $n \in N^{+}$, $k>0$.

(1) 讨论 $f_{n}(x)$ 的单调区间;

(2) 若 $f_{n}(x)$ 有三个极值点,求正数 $k$ 的取值范围.

18. 为了验证某款电池的安全性,小明在实验室中进行试验,假设小明每次试验成功的概率为 $p(0<p<1)$,且每次试验相互独立.

(1) 若进行 $5$ 次试验,且 $p=\dfrac{2}{5}$,求试验成功次数 $X$ 的分布列以及期望;

(2) 若恰好成功 $2$ 次后停止试验, $p=\dfrac{1}{3}$,记事件 $A$:停止试验时试验次数不超过 $n(n\geq 2)$ 次,事件 $B$:停止试验时试验次数为偶数,求 $P(AB)$.(结果用含有 $n$ 的式子表示)

19. 已知抛物线 $C_{1}:y^{2}= 4x-4$ 与双曲线 $C_{2}:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{4-a^2}=1(a>0)$ 相交于两点 $A,B$, $F$ 是 $C_{2}$ 的右焦点,直线 $AF$ 分别交 $C_{1},C_{2}$ 于 $C,D$ 两点 (不同于 $A,B$ 点),直线 $BC,BD$ 分别交 $x$ 轴于 $P,Q$ 两点.

(1) 求 $a$ 的取值范围;

(2) 记 $\triangle AQF$ 的面积为 $S_{1}$, $\triangle CQP$ 的面积为 $S_{2}$,当 $S_{1}=3S_{2}$ 时,求 $a$ 的值.