2000年新课程卷文

1. 设集合 $A = \{x | x \in Z\text{且}-10 \le x \le -1\}$, $B = \{x | x \in Z\text{且}|x| \le 5\}$, 则 $A \cup B$ 中的元素个数是（　　）

2. 设 $\mathbf{a}、\mathbf{b}、\mathbf{c}$ 是任意的非零平面向量, 且相互不共线, 则

①$(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}- (\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}) \mathbf{b}= \mathbf{0}$;

② $|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}| < |\mathbf{a}| |\mathbf{b}|$;

③ $(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}) \mathbf{a}- (\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}) \mathbf{b}$ 不与 $\mathbf{c}$ 垂直;

④ $(3\mathbf{a}+ 2\mathbf{b}) \cdot (3\mathbf{a}-2\mathbf{b}) = 9|\mathbf{a}|^{2} - 4|\mathbf{b}|^{2}$ 中, 是真命题的有（　　）

3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$, 这个长方体对角线的长是（　　）

4. 已知 $\sin \alpha > \sin\beta$, 那么下列命题成立的是（　　）

5. 函数 $y = -x\cos x$ 的部分图象是（　　）

6. 《中华人民共和国个人所得税法》规定, 公民全月工资、薪金所得不超过 $800$ 元的部分不必纳税, 超过 $800$ 元的部分为全月应纳税所得额, 此项税款按下表分段累进计算:

某人一月份交纳此项税款 $26.78$ 元, 则他的当月工资、薪金所得介于（　　）

7. 若 $a > b > 1$, $P = \sqrt{\lg a \cdot \lg b}$, $\displaystyle Q = \frac{\lg a + \lg b}{2}$, $\displaystyle R = \lg (\frac{a+b}{2})$, 则（　　）

8. 已知两条直线 $l_{1}: y = x, l_{2}: ax - y = 0$, 其中 $a$ 为实数, 当这两条直线的夹角在 $\displaystyle (0, \frac{\pi}{4})$ 内变动时, $a$ 的取值范围是（　　）

9. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形, 这个圆柱的全面积与侧面积的比是（　　）

10. 过原点的直线与圆 $x^{2}+y^{2}+4x+3=0$ 相切, 若切点在第三象限, 则该直线的方程是（　　）

11. 过抛物线 $y = ax^{2}$ ($a>0$) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q, 则 $\displaystyle \frac{1}{p}+ \frac{1}{q}$ 等于（　　）

12. 二项式 $(\sqrt{2}+ \sqrt[3]{3}x)^{8}$ 的展开式中系数为有理数的项共有（　　）

13. 从含有 500 个个体的总体中一次性地抽取 25 个个体, 假定其中每个个体被抽到的概率相等, 那么总体中的每个个体被抽取的概率等于 $\_$

14. 椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+ \frac{y^{2}}{4}= 1$ 的焦点 $F_{1}、F_{2}$, 点 P 为其上的动点, 当 $\angle F_{1}PF_{2}$ 为钝角时, 点 P 横坐标的取值范围是 $\_$

15. 设 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列, 且 $(n+1)a_{n+1}^{2} - na_{n}^{2} + a_{n+1}a_{n} = 0$ ($n = 1, 2, 3, ...$), 则它的通项公式是 $a_{n} = \_$

16. 如图, E、F 分别为正方体面 $ADD_{1}A_{1}$、面 $BCC_{1}B_{1}$ 的中心, 则四边形 $BFD_{1}E$ 在该正方体的面上的射影可能是 $\_$. (要求: 把可能的图序号都填上)

17. 甲、乙二人参加普法知识竞答, 共有 10 个不同的题目, 其中选择题 6 个, 判断题 4 个甲、乙二人依次各抽一题.

(1) 甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?

(2) 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

18. 【甲】如图, 直三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$, 底面 $\triangle ABC$ 中, $CA = CB = 1$, $\angle BCA = 90^{\circ}$, 棱 $AA_{1} = 2$, M、N 分别是 $A_{1}B_{1}、A_{1}A$ 的中点.

(1) 求 $BN$ 的长;

(2) 求 $\cos(BA_{1}, CB_{1})$ 的值;

(3) 求证 $A_{1}B \perp C_{1}M$.

19. 设 $\{a_{n}\}$ 为等差数列, $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $S_{7} = 7, S_{15}= 75$, $T_{n}$ 为数列 $\displaystyle \{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前 $n$ 项和, 求 $T_{n}$.

20. 在 $1$ 与 $2$ 之间插入 $n$ 个正数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$, 使这 $n+2$ 个数成等比数列; 又在 $1$ 与 $2$ 之间插入 $n$ 个正数 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}$, 使这 $n+2$ 个数成等差数列. 记 $A_{n} = a_{1}a_{2}a_{3} \dots a_{n}$, $B_{n} = b_{1}+b_{2}+b_{3}+ \dots + b_{n}$.

(1) 求数列 $\{A_{n}\}$ 和 $\{B_{n}\}$ 的通项;

(2) 当 $n \ge 7$ 时, 比较 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ 的大小, 并证明你的结论.

21. 某摩托车生产企业, 上年度生产摩托车的投入成本为 $1$ 万元/辆, 出厂价为 $1.2$ 万元/辆, 年销售量为 $1000$ 辆. 本年度为适应市场需求, 计划提高产品档次, 适度增加投入成本, 若每辆车投入成本增加的比例为 $x$ ($0 < x < 1$), 则出厂价相应提高的比例为 $0.75x$, 同时预计年销售量增加的比例为 $0.6x$. 已知年利润 $=$ (出厂价 $-$ 投入成本) $\times$ 年销售量.

(1) 写出本年度预计的年利润 $y$ 与投入成本增加的比例 $x$ 的关系式;

(2) 为使本年度的年利润比上年有所增加, 问投入成本增加的比例 $x$ 应在什么范围内?

22. 已知抛物线 $y^{2} = 2px$ ($p>0$). 过动点 $M(a,0)$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与该抛物线交于不同的两点 A、B, $|AB| < 2p$.

(1) 求 $a$ 的取值范围;

(2) 若线段 AB 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 N, 求 $R_{t}\triangle NAB$ 面积的最大值.