2024年上海卷

1. 已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$,若集合 $A = \{2,4\}$,则 $\complement_{U}A=$ $\underline{\qquad}$.

2. 已知函数 $y = f(x)$ 的表达式为 $f(x) = \begin{cases}\sqrt{x}, & x > 0, \\ 1, & x \leq 0,\end{cases}$ 则 $f(3)=$ $\underline{\qquad}$.

3. 设 $x \in \mathbb{R}$,不等式 $x^{2}-2x-3<0$ 的解集为 $\underline{\qquad}$.

4. 设 $a$ 为常数,若函数 $y= x^{2}+a$ 是奇函数,则 $a=$ $\underline{\qquad}$.

5. 设 $k \in \mathbb{R}$, 向量 $\boldsymbol{d}= (2,5)$, $\boldsymbol{T}= (6, k)$, 若 $\boldsymbol{d}\parallel \boldsymbol{T}$, 则 $k =$ $\underline{\qquad}$.

6. 在 $(x+1)^{n}$ 的二项展开式中,若各项系数和为 $32$,则 $x^{2}$ 项的系数为 $\underline{\qquad}$.

7. 若抛物线 $y^{2}= 4x$ 上一点 $P$ 到其准线的距离为 $9$,则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\underline{\qquad}$.

8. 小王参加知识竞赛,题库中 $A$ 组题有 $5000$ 道, $B$ 组题有 $4000$ 道, $C$ 组题有 $3000$ 道,若小王做对这三组题的概率依次为 $0.92$、$0.86$、$0.72$,则随机从题库中抽取一道题,小王做对的概率是 $\underline{\qquad}$.

9. 设 $m \in \mathbb{R}$, 若虚数 $z$ 的实部为 $1$, 且满足 $z+\dfrac{2}{z}= m$, 则 $m=$ $\underline{\qquad}$.

10. 已知某集合中的元素是不重复的数字组成的三位正整数,若该集合中任意两个数的积均为偶数,则该集合的元素个数的最大值为 $\underline{\qquad}$.

11. 海上有灯塔 $O、A、B$ 和船只 $T,A$ 在 $O$ 的正东方向, $B$ 在 $O$ 的正北方向, $A、B$ 到 $O$ 的距离相等, $O、A、T、B$ 按逆时针排列.若 $\angle ATO = 37^{\circ}$, $\angle BTO = 16.5^{\circ}$, 则 $\angle BOT =$ $\underline{\qquad}.($结果精确到 $0.1$ 度)

12. 等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足首项 $a_{1}> 0$,公比 $q > 1$, $I_{n}= \{x - y | x, y \in [a_{1}, a_{2}] \cup [a_{n}, a_{n+1}]\}$,若对任意正整数 $n$, $I_{n}$ 都是闭区间,则 $q$ 的取值范围是 $\underline{\qquad}$.

13. 若气温(单位 $^{\circ}C$)和海水表层温度(单位:摄氏度)的相关系数为正数,则下列关于两者关系的说法正确的是（　　）

14. 下列函数中,最小正周期是 $2\pi$ 的是（　　）

15. 已知空间直角坐标系 $Oxyz$ 中的点集 $\Omega$,对任意的 $P_{1}、P_{2}、P_{3}\in \Omega$, 均存在不全为 $0$ 的实数 $\lambda_{1}、\lambda_{2}、\lambda_{3}$ 满足 $\lambda_{1}\overrightarrow{OP_1}+\lambda_{2}\overrightarrow{OP_2}+ \lambda_{3}\overrightarrow{OP_3}= \boldsymbol{0}$. 若 $(1,0,0) \in \Omega$, 则 $(0,0,1)\notin\Omega$ 的一个充分条件是（　　）

16. 已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $y = f(x)$, $M = \{x_{0}| 对任意 x\in (-x_{0}, x_{0}), f(x) < f (x_{0})\}$.对于使得 $M = [-1,1]$ 的函数 $y=f(x)$,以下说法正确的是（　　）

17. 如图,在正四棱锥 $P - ABCD$ 中, $O$ 为底面 $ABCD$ 的中心.

(1) 若 $AP = 5$, $AD = 3\sqrt{2}$,将 $\triangle POA$ 绕直线 $PO$ 旋转一周,求所得旋转体的体积;

(2) 若 $AP = AD$, $E$ 为 $PB$ 的中点,求直线 $BD$ 与平面 $AEC$ 所成角的大小.

18. 已知 $f(x) = \log_{a}x$ ($a>0$ 且 $a \neq 1$).

(1) 若函数 $y = f(x)$ 的图象过点 $(4,2)$,求 $f(2x-2)<f(x)$ 的解集;

(2) 若存在 $x$ 使 $f(x+1)$、$f(ax)$、$f(x+2)$ 依次成等差数列,求 $a$ 的取值范围.

19. 某地区为调查初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区 $29000$ 名初中生抽取 $580$ 人,得到日均体育锻炼时长(表中简称时长)与学业成绩的数据如下表所示:

(1) 估计该地区 $29000$ 名初中生中体育锻炼时长大于 $1$ 小时人数;

(2) 估计该地区初中生平均日均体育锻炼时长;(结果精确到 $0.1$ 小时)

(3) 判断是否有 $95\%$ 的把握认为该地区初中生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于 $1$ 小时且小于 $2$ 小时有关?

$\chi^{2}= \dfrac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$, 其中 $n = a+b+c+d$, $P(\chi^{2}\geq 3.841) \approx 0.05$.

20. 双曲线 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1$ $(b>0)$,左、右顶点分别为 $A_{1}、A_{2}$, 过点 $M(-2,0)$ 的直线交 $\Gamma$ 于两点 $P、Q$ 两点.

(1) 若离心率 $e=2$,求 $b$ 的值;

(2) 若 $b=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$,点 $P$ 在第一象限, $\triangle MA_{2}P$ 为等腰三角形,求点 $P$ 的坐标;

(3) 连接 $QO$ ($O$ 为坐标原点)并延长交于点 $R$, 若 $\overrightarrow{A_1 R}\cdot \overrightarrow{A_2 P}= 1$, 求 $b$ 的取值范围.

21. 设 $D$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个非空子集, $y = f(x)$ 是定义在 $D$ 上的函数.对于点 $M(a, b)$, 记 $s(x) = (x - a)^{2}+ (f(x)-b)^{2}$, 若对于点 $P(x_{0}, f (x_{0}))$,满足函数 $y=s(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处取得最小值,则称 $P$ 是 $M$ 的 $f$ 最近点.

(1) $f(x) = \dfrac{1}{x}, M(0,0), D = (0, +\infty)$, 求证:存在 $M$ 的 $f$ 最近点;

(2) $f(x) = e^{x}, M(1,0), D = \mathbb{R}$, 若曲线 $y = f(x)$ 上一点 $P$ 满足 $MP$ 垂直于 $y = f(x)$ 在点 $P(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线,则 $P$ 是否为 $M$ 的 $f$ 最近点?

(3) 已知 $D = \mathbb{R}$, $y = f(x)$ 的导函数为 $y = f'(x)$, $y = g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的函数值恒正.对任意 $t\in\mathbb{R}$,点 $M_{1}$ 的坐标为 $(t-1, f(t)-g(t))$,点 $M_{2}$ 的坐标为 $(t+1, f(t)+g(t))$, 若对任意的 $t\in\mathbb{R}$,总存在 $y = f(x)$ 上一点 $P$,使得 $P$ 既是 $M_{1}$ 的 $f$ 最近点,又是 $M_{2}$ 的 $f$ 最近点,试求 $y=f(x)$ 的单调性.