2023年新高考一卷

1. 已知集合 $M = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$, $N = \{x | x^{2}- x - 6\geq 0\}$, 则 $M \cap N =$（　　）

2. 已知 $z = \dfrac{1-i}{2+2i}$, 则 $z - \bar{z}=$（　　）

3. 已知向量 $\boldsymbol{a}= (1, 1)$, $\boldsymbol{b}= (1, -1)$. 若 $(\boldsymbol{a}+ \lambda \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a}+ \mu \boldsymbol{b})$, 则（　　）

4. 设函数 $f(x) = 2^{x}(x-a)$ 在区间 $(0,1)$ 单调递减, 则 $a$ 的取值范围是（　　）

5. 设椭圆 $C_{1}: \dfrac{x^2}{a^2}+ y^{2}= 1$ $(a > 1)$, $C_{2}: \dfrac{x^2}{2a^2}+ y^{2}= 1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$. 若 $e_{2}= \sqrt{3}e_{1}$, 则 $a =$（　　）

6. 过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^{2}+ y^{2}- 4x - 1 = 0$ 相切的两条直线的夹角为 $\alpha$, 则 $\sin \alpha =$（　　）

7. 记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和. 设甲: $\{a_{n}\}$ 为等差数列; 乙: $\{\dfrac{S_n}{n}\}$ 为等差数列, 则（　　）

8. 已知 $\sin(\alpha - \beta) = \dfrac{1}{3}$, $\cos \alpha \sin \beta = \dfrac{1}{9}$, 则 $\cos(2\alpha + 2\beta) =$（　　）

9. 有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{6}$, 其中 $x_{1}$ 是最小值, $x_{6}$ 是最大值, 则（　　）

10. 噪声污染问题越来越受到重视, 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级 $L_{p}= 20 \times \lg \dfrac{p}{p_0}$, 其中常数 $p_{0}$ $(p_{0}> 0)$ 是听觉下限阈值, $p$ 是实际声压. 下表为不同声源的声压级:

已知在距离燃油汽车, 混合动力汽车, 电动汽车 10m 处测得实际声压分别为 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$, 则（　　）

11. 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 R, $f(xy) = y^{2}f(x) + x^{2}f(y)$, 则（　　）

12. 下列物体中, 能被整体放入棱长为 $1$ (单位: m) 的正方体容器 (容器壁厚度忽略不计) 内的有（　　）

13. 某学校开设了 $4$ 门体育类选修课和 $4$ 门艺术类选修课, 学生需从这 $8$ 门课中选修 $2$ 门或 $3$ 门课, 并且每类选修课至少选修 $1$ 门, 则不同的选课方案共有 $\underline{\qquad}$ 种. (用数字作答)

14. 在正四棱台 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $AB = 2$, $A_{1}B_{1}= 1$, $AA_{1}= \sqrt{2}$, 则该棱台的体积为 $\underline{\qquad}$ .

15. 已知函数 $f(x) = \cos \omega x - 1$ $(\omega > 0)$ 在区间 $[0,2]$ , 有且仅有 $3$ 个零点, 则 $\omega$ 的取值范围是 $\underline{\qquad}$ .

16. 已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$. 点 $A$ 在 $C$ 上, 点 $B$ 在 $y$ 轴上, $F_{1}A \perp F_{1}B, \overrightarrow{F_2A}= -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{F_2B}$, 则 $C$ 的离心率为 $\underline{\qquad}$ .

17. 已知在 $\triangle ABC$ 中, $A + B = 3C$, $2\sin(A - C) = \sin B$.

(1) 求 $\sin A$;

(2) 设 $AB = 5$, 求 $AB$ 边上的高.

18. 如图, 在正四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $AB = 2$, $AA_{1}= 4$. 点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 分别在棱 $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}, DD_{1}$ 上, $AA_{2}= 1, BB_{2}= DD_{2}= 2, CC_{2}= 3$.

(1) 证明: $B_{2}C_{2}\parallel A_{2}D_{2}$;

(2) 点 $P$ 在棱 $BB_{1}$ 上, 当二面角 $P-A_{2}C_{2}-D_{2}$ 为 $150^{\circ}$ 时, 求 $B_{2}P$.

19. 已知函数 $f(x) = a(e^{x}+ a) - x$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;

(2) 证明: 当 $a > 0$ 时, 求证: $f(x) > 2\ln a + \dfrac{3}{2}$.

20. 设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$, 且 $d > 1$. 令 $b_{n}= \dfrac{n^2 + n}{a_n}$, 记 $S_{n}, T_{n}$ 分别为数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

(1) 若 $3a_{2}= 3a_{1}+ a_{3}, S_{3}+ T_{3}= 21$, 求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 若 $\{b_{n}\}$ 为等差数列, 且 $S_{99}- T_{99}= 99$, 求 $d$.

21. 甲、乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若未命中则换为对方投篮, 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 $0.6$, 乙每次投篮的命中率均为 $0.8$. 由抽签决定第 $1$ 次投篮的人选, 第 $1$ 次投篮的人是甲、乙的概率各为 $0.5$.

(1) 求第 $2$ 次投篮的人是乙的概率;

(2) 求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率;

(3) 已知: 若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布, 且 $P(X_{i}= 1) = 1 - P(X_{i}= 0) = q_{i}, i = 1, 2, \dots, n$, 则 $E\left( \sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}\right) = \sum\limits_{i=1}^{n}q_{i}$. 记前 $n$ 次 (即从第 $1$ 次到第 $n$ 次投篮) 中甲投篮的次数为 $Y$, 求 $E(Y)$.

22. 在直角坐标系 $xOy$ 中, 点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$ 的距离. 记动点 $P$ 的轨迹为 $W$.

(1) 求 $W$ 的方程;

(2) 已知矩形 $ABCD$ 有三个顶点在 $W$ 上, 证明: 矩形 $ABCD$ 的周长大于 $3\sqrt{3}$.