1978年全国卷

1. (1) 分解因式:$x^{2}-4xy + 4y^{2} - 4z^{2}$.

2.

(2) 已知正方形的边长为$a$,求侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.

3. (3) 求函数$y=\sqrt{\lg(2+x)}$的定义域.

4.

(4) 不查表求 $\cos 80° \cos 35° + \cos 10° \cos 55°$的值.

5. (5) 化简: $\displaystyle (\frac{a^{3}}{b^{4}})^{-1}\cdot \frac{(\sqrt{4ab^{-1}})^{3}}{(0.1)^{-2}(a^{3}b^{-4})}$

6. 3. 如图,AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN 切半圆于C点,AM $\perp$ MN于M点,BN $\perp$ MN于N点,CD $\perp$ AB于D点,求证: (1) CD = CM = CN; (2) CD$^{2}$ = AM $\cdot$ BN.

\begin{figure}[H] $\centering$ $\includegraphics{images/1978_national_1.png}$ \end{figure}

7. 4. 已知 $\log_{18}9 = a$, $18^{b} = 5$, 求$\log_{36}45$.

8. 5. 已知 $\triangle ABC$ 的三个内角的大小成等差数列,$\tan A \tan C = 2+\sqrt{3}$,求角A, B, C 的大小,又已知顶点C的对边$c$上的高等于$4\sqrt{3}$,求三角形各边$a, b, c$的长.(提示:必要时可验证 $(1 + \sqrt{3})^{2} = 4 + 2\sqrt{3}$)

9. 2. 已知方程 $kx^{2} + y^{2} = 4$, 其中$k$为实数,对于不同范围的$k$值,分别指出方程所代表图形的内形,并画出显示其数量特征的草图.

10. 6.已知$\alpha, \beta$为锐角,$3\sin^{2}\alpha + 2\sin^{2}\beta = 1$, $3 \sin 2\alpha - 2 \sin 2\beta = 0$. 求证: $\displaystyle \alpha + 2\beta = \frac{\pi}{2}$

11. 7. 已知函数 $y = x^{2} + (2m + 1)x+m^{2}-1$($m$为实数). (1)$m$是什么数值时,$y$的极值是0?

(2) 求证:不论$m$是什么数值,函数图象(即抛物线)的顶点都在同一条直线$L_{1}$上,画出$m = -1、0、1$时抛物线的草图,来检验这个结论;

(3) 平行于$L_{1}$的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于$L_{1}$而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.