2024年九省联考数学

1. 样本数据 $16,24,14,10,20,30,12,14,40$ 的中位数为（　　）

2. 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+y^{2}=1(a>1)$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$，则 $a=$（　　）

3. 记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，$a_{3}+a_{7}=6, a_{12}=17$，则 $S_{16}=$（　　）

4. 设 $\alpha,\beta$ 是两个平面，$m,l$ 是两条直线，则下列命题为真命题的是（　　）

5. 甲、乙、丙等 $5$ 人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有 $2$ 人，则不同排法共有（　　）

6. 已知 $Q$ 为直线 $l:x+2y+1=0$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{QP}=(1,-3)$，记 $P$ 的轨迹为 $E$，则（　　）

7. 已知 $\theta \in (\dfrac{3\pi}{4}, \pi)$， $\tan 2\theta = -4\tan (\theta + \dfrac{\pi}{4})$，则 $\dfrac{1+\sin 2\theta}{2\cos^2\theta+\sin 2\theta}=$（　　）

8. 设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$，过坐标原点的直线与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$|F_{1}B|=2|F_{1}A|$，$\overrightarrow{F_1A}\cdot\overrightarrow{F_1B}=4a^{2}$，则 $C$ 的离心率为（　　）

9. 已知函数 $f(x) = \sin (2x+\dfrac{3\pi}{4}) + \cos(2x+\dfrac{3\pi}{4})$，则（　　）

10. 已知复数 $z,w$ 均不为 $0$，则（　　）

11. 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且 $f(\dfrac{1}{2}) \neq 0$，若 $f(x+y)+f(x)f(y)=4xy$，则（　　）

12. 已知集合 $A=\{-2,0,2,4\}, B=\{x||x-3|<m\}$, 若 $A \cap B=A$，则 $m$ 的最小值为 $\underline{\qquad}$.

13. 已知轴截面为正三角形的圆锥 $MM'$ 的高与球 $O$ 的直径相等，则圆锥 $MM'$ 的体积与球 $O$ 的体积的比值是 $\underline{\qquad}$，圆锥 $MM'$ 的表面积与球 $O$ 的表面积的比值是 $\underline{\qquad}$.

14. 以 $\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数. 设 $0<a<b<c<1$，已知 $b \geq 2a$ 或 $a+b \leq 1$，则 $\max\{b-a,c-b,1-c\}$ 的最小值为 $\underline{\qquad}$.

15. 已知函数 $f(x) = \ln x + x^{2}+ ax + 2$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线与直线 $2x+3y=0$ 垂直.

(1) 求 $a$;

(2) 求 $f(x)$ 的单调区间和极值.

16. 盒中有标记数字 $1,2,3,4$ 的小球各 $2$ 个，随机一次取出 $3$ 个小球.

(1) 求取出的 $3$ 个小球上的数字两两不同的概率;

(2) 记取出的 $3$ 个小球上的最小数字为 $X$，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E(X)$.

17. 如图,平行六面体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中,底面 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形, $O$ 为 $AC$ 与 $BD$ 的交点, $AA_{1}= 2, \angle C_{1}CB = \angle C_{1}CD, \angle C_{1}CO = 45^{\circ}$.

(1) 证明: $CO \perp$ 平面 $ABCD$;

(2) 求二面角 $B-AA_{1}-D$ 的正弦值.

18. 已知抛物线 $C:y^{2}=4x$ 的焦点为 $F$,过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点,过 $F$ 与 $l$ 垂直的直线交 $C$ 于 $D,E$ 两点,其中 $B,D$ 在 $x$ 轴上方,$M,N$ 分别为 $AB,DE$ 的中点.

(1) 证明: 直线 $MN$ 过定点;

(2) 设 $G$ 为直线 $AE$ 与直线 $BD$ 的交点,求 $\triangle GMN$ 面积的最小值.

19. 一般地,$n$元有序实数对 $(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})$ 称为 $n$ 维向量.对于两个 $n$ 维向量 $\vec{a}=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}),\vec{b}=(b_{1},b_{2},\dots,b_{n})$,定义:两点间距离 $d = \sqrt{(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+\dots+(b_{n}-a_{n})^{2}}$,利用 $n$ 维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中,依据“距离”分类是一种常用的分类方法:计算向量与每个标准点的距离 $d_{k}$,与哪个标准点的距离 $d_{k}$ 最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试,得到业务能力分值 $(a_{1})$、管理能力分值 $(a_{2})$、计算机能力分值 $(a_{3})$、沟通能力分值 $(a_{4})$(分值 $a_{i}\in \mathbb{N}^{*},i \in \{1,2,3,4\}$ 代表要求度,1分最低,5分最高)并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表:

对应聘者的能力报告进行四维距离计算,可得到其最适合的岗位. 设四种能力分值分别对应四维向量 $\vec{\beta}=(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})$ 的四个坐标.

(1) 将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据,直接写出这组数据的第三四分位数;

(2) 小刚与小明到该公司应聘,已知:只有四个岗位的拟合距离的平方均小于 $20$ 的应聘者才能被招录.

(i) 小刚测试报告上的四种能力分值为 $\vec{\alpha}=(4,3,2,5)$, 将这组数据看成四维向量中的一个点,将四种职业1、2、3、4的分值要求看成样本点,分析小刚最适合哪个岗位;

(ii) 小明已经被该公司招录,其测试报告经公司计算得到四种职业1、2、3、4的推荐率 $(p)$ 分别为 $\dfrac{1}{43}, \dfrac{13}{43}, \dfrac{9}{43}, \dfrac{7}{43}$ $(\text{P}_{n}=\dfrac{d_n}{d_1+d_2+d_3+d_4})$,试求小明的各项能力分值.