2024年新课标II卷数学

1. 已知 $z=-1-i$，则 $|z|=$（　　）

2. 已知命题 $p:\forall x \in \mathbf{R}, |x+1|>1$; 命题 $q:\exists x>0, x^{3}=x$, 则（　　）

3. 已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=1, |\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=2$, 且 $(6-2\boldsymbol{a}) \perp \boldsymbol{b}$, 则 $|\boldsymbol{b}|=$（　　）

4. 某农业研究部门在面积相等的 $100$ 块稻田上种植一种新型水稻, 得到各块稻田的亩产量 (单位: kg) 并部分整理下表

据表中数据, 结论中正确的是（　　）

5. 已知曲线 $C: x^{2}+ y^{2}= 16$ ($y>0$), 从 $C$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段 $PP'$, $P'$ 为垂足, 则线段 $PP'$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为（　　）

6. 设函数 $f(x)=a(x+1)^{2}-1$, $g(x) = \cos x+2ax$, 当 $x \in (-1,1)$ 时, 曲线 $y = f(x)$ 与 $y = g(x)$ 恰有一个交点, 则 $a =$（　　）

7. 已知正三棱台 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 的体积为 $\dfrac{52}{3}$, $AB=6$, $A_{1}B_{1}= 2$, 则 $AA_{1}$ 与平面 $ABC$ 所成角的正切值为（　　）

8. 设函数 $f(x) = (x+a)\ln(x+b)$, 若 $f(x) \geq 0$, 则 $a^{2}+ b^{2}$ 的最小值为（　　）

9. 对于函数 $f(x) = \sin 2x$ 和 $g(x) = \sin(2x-\dfrac{\pi}{4})$, 下列正确的有（　　）

10. 抛物线 $C: y^{2}= 4x$ 的准线为 $l$, $P$ 为 $C$ 上的动点, 过 $P$ 作 $\odot A: x^{2}+ (y-4)^{2}=1$ 的一条切线, $Q$ 为切点, 过 $P$ 作 $l$ 的垂线, 垂足为 $B$, 则（　　）

11. 设函数 $f(x) = 2x^{3}-3ax^{2}+1$, 则（　　）

12. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $a_{3}+a_{4}= 7$, $3a_{2}+ a_{5}= 5$, 则 $S_{10}=$ $\underline{\qquad}$.

13. 已知 $\alpha$ 为第一象限角, $\beta$ 为第三象限角, $\tan\alpha+\tan\beta = 4$, $\tan\alpha\tan\beta = \sqrt{2}+1$, 则 $\sin(\alpha + \beta) =$ $\underline{\qquad}$.

14. 在如图的 $4 \times 4$ 方格表中选 $4$ 个方格, 要求每行和每列均恰有一个方格被选中, 则共有 $\underline{\qquad}$ 种选法, 在所有符合上述要求的选法中, 选中方格中的 $4$ 个数之和的最大值是 $\underline{\qquad}$.

15. 记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$, 已知 $\sin A+ \sqrt{3}\cos A = 2$.

(1) 求 $A$.

(2) 若 $a=2, \sqrt{2}b\sin C = c\sin 2B$, 求 $\triangle ABC$ 的周长.

16. 已知函数 $f(x) = e^{x}- ax - a^{3}$.

(1) 当 $a=1$ 时, 求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程;

(2) 若 $f(x)$ 有极小值, 且极小值小于 $0$, 求 $a$ 的取值范围.

17. 如图, 平面四边形 $ABCD$ 中, $AB = 8$, $CD = 3$, $AD = 5\sqrt{3}$, $\angle ADC = 90^{\circ}$, $\angle BAD = 30^{\circ}$, 点 $E,F$ 满足 $\overrightarrow{AE}= \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AF}= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, 将 $\triangle AEF$ 沿 $EF$ 对折至 $\triangle PEF$, 使得 $PC = 4\sqrt{3}$.

(1) 证明: $EF \perp PD$ ;

(2) 求面 $PCD$ 与面 $PBF$ 所成的二面角的正弦值.

18. 某投篮比赛分为两个阶段, 每个参赛队由两名队员组成, 比赛具体规则如下: 第一阶段由参赛队中一名队员投篮 $3$ 次, 若 $3$ 次都未投中, 则该队被淘汰, 比赛成员为 $0$ 分; 若至少投中一次, 则该队进入第二阶段, 由该队的另一名队员投篮 $3$ 次, 每次投中得 $5$ 分, 未投中得 $0$ 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成, 设甲每次投中的概率为 $p$, 乙每次投中的概率为 $q$, 各次投中与否相互独立.

(1) 若 $p=0.4, q=0.5$, 甲参加第一阶段比赛, 求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 $5$ 分的概率.

(2) 假设 $0<p<q$,

(i) 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 $15$ 分的概率最大, 应该由谁参加第一阶段比赛?

(ii) 为使得甲、乙, 所在队的比赛成绩的数学期望最大, 应该由谁参加第一阶段比赛?

19. 已知双曲线 $C: x^{2}- y^{2}= m(m>0)$, 点 $P_{1}(5,4)$ 在 $C$ 上, $k$ 为常数, $0<k<1$. 按照如下方式依次构造点 $P_{n}(n = 2,3,...)$, 过 $P_{n-1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$, 令 $P_{n}$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点, 记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n},y_{n})$.

(1) 若 $k = \dfrac{1}{2}$, 求 $x_{2},y_{2}$;

(2) 证明: 数列 $\{x_{n}-y_{n}\}$ 是公比为 $\dfrac{1+k}{1-k}$ 的等比数列;

(3) 设 $S_{n}$ 为 $\triangle P_{n}P_{n+1}P_{n+2}$ 的面积, 证明: 对任意的正整数 $n$, $S_{n}= S_{n+1}$.