2020年上海卷

1. 若集合 $A = \{1, 2, 4\}$, $B = \{2, 4, 5\}$, 则 $A\cap B =$ $\underline{\qquad}$.

2. 计算: $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n+1}{3n-1}=$ $\underline{\qquad}$.

3. 若复数 $z=1-2i$ (其中 $i$ 为虚数单位),则 $|z|=$ $\underline{\qquad}$.

4. 函数 $f(x) = x^{3}$ 的反函数为 $\underline{\qquad}$.

5. 若实数 $x, y$ 满足 $x+y-2\geq 0,$ $x+2y-3 \leq 0,$ $y \geq 0,$ 则 $z=y-2x$ 的最大值为 $\underline{\qquad}$.

6. 设 $a, b, c, d \in \mathbf{R}$,若行列式 $\begin{vmatrix}1 & a \\ 2 & c\end{vmatrix} = 6$,则行列式 $\begin{vmatrix}c & d \\ 3 & 0\end{vmatrix}$ $\underline{\qquad}$.

7. 设 $a, b \in \mathbf{R}$, 若 $1, 2, a, b$ 这四个数的中位数为 $3$, 平均数为 $4$, 则 $ab=$ $\underline{\qquad}$.

8. 已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$,其前 $n$ 项和为 $S_{n}$.若 $a_{1}+a_{10}= a_{9}$, 则 $\dfrac{S_9}{a_{10}}=$ $\underline{\qquad}$.

9. 从 $6$ 人中选出 $4$ 人去值班,每人值班一天,若第一天安排 $1$ 人,第二天安排 $1$ 人,第三天安排 $2$ 人,则不同安排方法的种数为 $\underline{\qquad}.($结果用数值表示)

10. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的右焦点为 $F$,点 $P$ 位于第二象限且在椭圆上,联结 $PF$ 并延长,交于点 $Q(x_{Q},y_{Q})$,点 $Q'(x_{Q'},y_{Q'})$ 也在椭圆上,且 $y_{Q}+y_{Q'}=0$.若 $FQ'\perp FP$,则直线 $PQ$ 的方程为 $\underline{\qquad}$.

11. 设 $a\in \mathbf{R}$,若存在定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ 既满足“对任意 $x_{0}\in \mathbf{R},f(x_{0})$ 的值为 $x_{0}$ 或 $-x_{0}$”又满足“关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 无实数解”,则 $a$ 取值范围是 $\underline{\qquad}$.

12. 已知 $\boldsymbol{a_1}, \boldsymbol{a_2}, \boldsymbol{b_1}, \boldsymbol{b_2}, \dots, \boldsymbol{b_k}$ 是平面内两两互不相等的向量,若 $|\boldsymbol{a_1}- \boldsymbol{a_2}| = 1$,且 $|\boldsymbol{a_i}- \boldsymbol{b_j}| \in \{1, 2\}$ (其中 $i = 1, 2$, $j = 1, 2, \dots, k$),则 $k$ 最大值为 $\underline{\qquad}$.

13. 若 $a, b \in \mathbf{R}$,则下列不等式中,恒成立的是（　　）

14. 直线 $3x + 4y+1=0$ 的一个参数方程可以为（　　）

15. 在如图所示的棱长为 $10$ 的正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中,一条平行于 $A_{1}C$ 的直线与正方体的表面交于 $P,Q$ 两点,其中 $P$ 在侧面 $ADD_{1}A_{1}$ 上,且到 $A_{1}D_{1}$ 的距离为 $3$,到 $AA_{1}$ 的距离为 $2$,则点 $Q$ 所在的面是

（　　）

16. 对于定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $y=f(x)$,考察以下性质: $p$:存在非零实数 $a$,使得 $f(x+a) < f(x)+f(a)$ 对任意的 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立; $q_{1}$: $y = f(x)$ 单调递减,且 $f(x)$ 恒大于 $0$; $q_{2}$: $y = f(x)$ 单调递增,且存在 $x_{0}< 0$,使得 $f(x_{0}) = 0$. 关于上述性质,以下判断正确的是（　　）

17. 如图所示,边长为 $1$ 的正方形 $ABCD$ 绕 $BC$ 边旋转后形成一个圆柱.

(1) 求该圆柱表面积 $S$;

(2) 正方形 $ABCD$ 绕 $BC$ 逆时针旋转到 $A_{1}BCD_{1}$,求 $AD_{1}$ 与平面 $ABCD$ 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

18. 已知函数 $f(x) = \sin\omega x$ ($\omega > 0$).

(1) 若函数 $y = f(x)$ 的周期为 $4\pi$, 求 $\omega$ 及此时 $f(x) = \dfrac{1}{2}$ 的解集;

(2) 若 $\omega = 1$, 设 $g(x) = f^{2}(x) + \sqrt{3}f(-x) \cdot f\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$, $x\in \left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$,求函数 $y = g(x)$ 值域.

19. 在研究某市交通情况时,道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数量除以时间,车辆密度是指该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度,现定义交通流量为 $v = \dfrac{x}{q}$,其中 $x$ 为道路密度, $q$ 为车辆密度.据调查某路段的交通流量有如下规律: $v = \begin{cases}100 - 135\left(\frac{x}{80}\right)^{3}&0 < x < 40, \\ -k(x-40)+85&40 < x \leq 80,\end{cases}$ (其中 $k > 0$).

(1) 当交通流量大于 $95$ 时,求道路密度 $x$ 的取值范围;

(2) 若道路密度 $x=80$ 时,测得交通流量 $v=50$,求车辆密度 $q$ 的最大值.

20. 设 $b>0$.如图所示,在平面直角坐标系 $xOy$ 中, $A(x_{A}, y_{A})$ 是双曲线 $C_{1}: \dfrac{x^2}{4}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1$ 和圆 $C_{2}: x^{2}+y^{2}= 4+b^{2}$ 在第一象限内的交点,曲线 $\Gamma$ 由 $C_{1}$ 中满足 $|x| \geq x_{A}$ 的部分和 $C_{2}$ 中满足 $|x| \geq x_{A}$ 的部分构成.

(1) 若 $x_{A}= \sqrt{6}$,求 $b$ 的值;

(2) 若 $b = \sqrt{5}$, $F_{1}, F_{2}$ 分别为 $\Gamma$ 与 $x$ 轴的左、右两个交点,第一象限内的点 $P$ 也在 $\Gamma$ 上,且 $|PF_{1}| = 8$, 求 $\angle F_{1}PF_{2}$ 的大小;

(3) 过点 $S\left(0, \dfrac{b^2-2}{b}\right)$ 作斜率为 $-1$ 的直线 $l$.若 $l$ 与 $\Gamma$ 恰有两个不同的公共点,记为 $M, N$,用 $b$ 表示 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$,并求当 $b$ 变化时, $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的取值范围.