创新与综合

16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时, 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折. 规格为 $20 \text{ dm}\times 12 \text{ dm}$ 的长方形纸, 对折 $1$ 次共可以得到 $10 \text{ dm}\times 12 \text{ dm}$, $20 \text{ dm}\times 6 \text{ dm}$ 两种规格的图形, 它们的面积之和 $S_{1}= 240 \text{ dm}^{2}$. 对折 $2$ 次共可以得到 $5 \text{ dm}\times 12 \text{ dm}$, $10 \text{ dm}\times 6 \text{ dm}$, $20 \text{ dm}\times 3 \text{ dm}$ 三种规格的图形, 它们的面积之和 $S_{2}= 180 \text{ dm}^{2}$, 以此类推.

则对折 $4$ 次共可以得到不同规格图形的种数为 $\underline{\qquad}$; 如果对折 $n$ 次, 那么 $\sum\limits_{k=1}^{n}S_{k}=$ $\underline{\qquad}$ $\text{ dm}^{2}$.

12. 如图, 若从 $O$ 所作的两条射线 $OM, ON$ 上分别有点 $M_{1}, M_{2}$ 与点 $N_{1}, N_{2}$, 则三角形面积之比 $\frac{S_{\triangle OM_1N_1}}{S_{\triangle OM_2N_2}}= \frac{OM_{1} \cdot ON_{1}}{OM_{2} \cdot ON_{2}}$. 若从 $O$ 所作的不在同一平面内的三条射线 $OP, OQ$ 和 $OR$ 上, 分别有点 $P_{1}, P_{2}$, 点 $Q_{1}, Q_{2}$ 和点 $R_{1}, R_{2}$, 则类似的结论为 ______.

16. 对于任意两个复数 $z_{1} = x_{1} + y_{1}i$, $z_{2} = x_{2} + y_{2}i$ ($x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ 为实数), 定义运算 $\otimes$ 为: $z_{1} \otimes z_{2} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$. 设非零复数 $w_{1}, w_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $P_{1}, P_{2}$, 点 $O$ 为坐标原点, 如果 $w_{1} \otimes w_{2} = 0$, 那么在 $\triangle OP_{1}P_{2}$ 中, $\angle P_{1}OP_{2}$ 的大小为 ______.

11. 已知两个圆: $x^{2} + y^{2} = 1$ (1) 与 $x^{2} + (y-3)^{2} = 1$ (2), 则由 (1) 式减去 (2) 式可得上述两圆的对称轴方程. 将上述命题在曲线的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题, 而已知命题应成为所推广命题的一个特例, 推广的命题为 ______.

22. 如图为一台冷轧机的示意图, 冷轧机由若干对轧辊组成, 带钢从一端输入, 经过各对轧辊逐步减薄后输出.

(1) 输入带钢的厚度为 $a$, 输出带钢的厚度为 $b$, 若每对轧辊的减薄率不超过 $r_{0}$. 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?

$\displaystyle (\text{一对轧辊减薄率}= \frac{\text{输入该对的带钢厚度}-\text{从该对输出的带钢厚度}}{\text{输入该对的带钢厚度}})$

(2) 已知一台冷轧机共有 $4$ 对减薄率为 $20\%$ 的轧辊, 所有轧辊周长均为 $1600 \pi$ mm. 若第 $k$ 对轧辊有缺陷, 每滚动一周在带钢上压出一个疵点, 在冷轧机输出的带钢上, 疵点的间距为 $L_{k}$. 为了便于检修, 请计算 $L_{1}、L_{2}、L_{3}$ 并填入下表 (轧钢过程中, 带钢宽度不变, 且不考虑损耗).

15. 四面体的一个顶点为 $A$, 从其他顶点与棱的中点中取 $3$ 个点, 使它们和点 $A$ 在同一平面上, 不同的取法共有（　　）

10. 附加题 已知以 AB 为直径的半圆有一个内接正方形 CDEF,其边长为1(如图).设AC = a, BC = b,作数列 $u_{1} = a - b$, $u_{2} = a^{2} - ab + b^{2}$, $u_{3} = a^{3} - a^{2}b+ab^{2}-b^{3}$, ..., $u_{k} = a^{k} – a^{k-1}b+a^{k-2}b^{2}+(-1)^{k}b^{k}$;求证:$U_{n} = U_{n-1}+ U_{n-2}$ ($n \ge 3$).

\begin{figure}[H] $\centering$ $\includegraphics{images/1981_national_sci_1.png}$ \end{figure}

4. 叙述并证明勾股定理.

4. 叙述并证明勾股定理.

6. 3. 如图,AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN 切半圆于C点,AM $\perp$ MN于M点,BN $\perp$ MN于N点,CD $\perp$ AB于D点,求证: (1) CD = CM = CN; (2) CD$^{2}$ = AM $\cdot$ BN.

\begin{figure}[H] $\centering$ $\includegraphics{images/1978_national_1.png}$ \end{figure}